2024 신장고등학교 2학년 수학Ⅱ · 2학기 중간 시험지 분석

문항·배점 구성

시험지 7쪽, 선택형 19문항 80점 + 논술형 3문항 20점, 총 100점(시험지 표지의 배점 안내와 일치). 선택형 배점은 문항 끝에 인쇄된 값을 합산했으며 3.8점(1번) · 3.9점(4·10번) · 4점(2·6·11번) · 4.1점(3·5·7번) · 4.2점(12·15번) · 4.3점(8·13번) · 4.4점(14·16번) · 4.5점(9·17번) · 4.6점(19번) · 4.7점(18번)으로 합이 80점입니다. 논술형은 1번 6점, 2번 7점, 3번 7점입니다. 단원별로는 미분계수와 도함수 36.9점(10~14·17·19번 + 논술형 3), 함수의 극한 30.4점(1~5·9번 + 논술형 1), 함수의 연속 19.4점(6~8번 + 논술형 2), 도함수의 활용(접선·평균값 정리) 13.3점(15·16·18번)입니다.

난이도

시험지 7쪽 전체를 기준으로 본 전체 난도는 중, 고득점 난도는 중상입니다. 선택형 19문항의 배점이 3.8점에서 4.7점 사이에 고르게 퍼져 있고 번호 순서와 배점 순서가 일치하지 않아(10번 3.9점, 9번 4.5점 등) 문항마다 무게를 확인하며 풀어야 하는 구조입니다. 1·2·4·10·11번(3.8~4점)은 그래프의 극한, x→−∞에서 무리식 극한, 극한의 대소 관계, 평균변화율, 미분계수처럼 공식 적용형이고, 3·5·6·7·12번(4~4.2점)은 세 극한값의 대소 비교, 극한의 성질로 다른 극한 구하기, 사잇값 정리로 교점이 속한 구간 찾기, 절댓값 함수의 연속, x+x³+…+x¹⁷의 미분계수로 한 단계 더 나아갑니다. 8·9·13~19번(4.2~4.7점)은 두 함수의 합·차 조건과 연속(8번), 원 밖의 점에서 그은 두 접선과 극한(9번), 그래프에서 기울기 비교(13번), 함수방정식(14번), 평균값 정리(15번), 곡선 밖의 점에서 그은 접선(16번), 미분계수 정의 보기(17번), 곱의 미분과 접선(18번), 평균변화율로 만든 함수의 미분가능성(19번)으로 조건을 식으로 옮기는 단계가 둘 이상입니다. 논술형 3문항(20점)은 무리식 극한으로 상수 결정(1번, 6점), 연속 조건으로 함숫값 구하기(2번, 7점), 미분을 이용한 다항식의 나머지(3번, 7점)입니다. 공식 평균점수·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.

문항별 핵심 개념

시험의 주요 특징

① 함수의 극한(1~5·9번, 논술형 1) — 그래프에서 x→0⁻의 극한과 f(2)의 합(1번), x→−∞에서 √(4x²+3)/x(2번), x→3·x→∞에서의 세 극한값 A·B·C의 대소(3번, ∞−∞ 꼴 포함), x>0에서 6x²+2x−1≤f(x)≤6x²+2x+1일 때 f(x)/x²의 극한(4번), lim f(x)/(x−3)=6과 다른 극한 조건으로 lim 2g(x)/(x−3)(5번), 직선 2x+y=5 위의 점 P(t,5−2t)에서 원 x²+y²=5에 그은 두 접선의 접점 A·B와 AB의 중점 M으로 만든 AM×OP/(t²−4)의 t→2⁺ 극한(9번)입니다. 논술형 1번은 lim (√(x+a)−b)/(x−2)=1/6이 성립하도록 a+b를 구하는 서술입니다. ② 함수의 연속(6~8번, 논술형 2) — 직선 y=x+3과 곡선 y=x³+1이 한 점에서만 만날 때 교점의 x좌표가 속하는 열린구간(6번, 사잇값 정리), x<2와 x≥2에서 식이 다른 f에 대해 |f(x)|가 연속이 되는 모든 a의 합(7번), x<1에서 f+g, x>1에서 f−g가 주어지고 f가 x=1에서 연속이며 g의 좌·우극한 차가 4일 때 f(1)(8번)입니다. 논술형 2번은 (x−3)f(x)=x²+3x+a를 만족하는 연속함수 f에서 f(3)+a를 서술합니다. ③ 미분계수와 도함수(10~14·17·19번, 논술형 3) — f(x)=x²의 1→5 평균변화율(10번), f(x)=x²+3의 x=1에서의 미분계수(11번), lim (x+x³+…+x¹⁷−9)/(x−1)을 미분계수로 보기(12번), y=f(x)와 y=−x의 그래프에서 원점과 잇는 기울기·접선의 기울기·f(x)+x를 비교하는 보기(13번), f(x+y)=f(x)+f(y)+x²y+xy²+4xy와 f′(2)=30으로 f′(3)(14번), 미분계수 정의의 여러 변형이 항상 옳은지 판단하는 보기(17번), 구간별 함수의 0→t 평균변화율 g(t)로 만든 h(t)가 t=2에서 미분가능할 조건(19번)입니다. 논술형 3번은 x¹⁰⁰+1을 (x+1)²으로 나눈 나머지 R(x)를 미분을 이용해 구하고 R(−2)를 서술합니다. ④ 도함수의 활용(15·16·18번) — f(x)=x²−6x+3에서 평균값 정리를 만족하는 c가 1이고 f′(a)=−10일 때 a²+b²(15번), 점 (3,−2)에서 y=x²−3x+2에 그은 모든 접선의 기울기의 곱(16번), g(x)=x²f(x)−8과 극한 조건으로 y=g(x) 위의 점 (3,g(3))에서의 접선(18번)입니다. 채점 기준은 공개되지 않았습니다.

상대적으로 변별력이 높은 문항

4.4점 이상 6문항(9·14·16·17·18·19번)과 논술형 3번이 변별 구간입니다. 19번(4.6점)은 x≤2와 x>2에서 식이 다른 f의 0→t 평균변화율 g(t)를 t≤2와 t>2로 나눠 구한 뒤, h(t)가 t=2에서 연속이면서 좌·우미분계수가 같아야 한다는 두 조건으로 a·b를 정해야 해 가장 길어집니다. 18번(4.7점)은 lim (f(x)−g(x))/(x−3)=−14에서 f(3)=g(3)을 먼저 읽고, g(x)=x²f(x)−8과 연립해 f(3)·f′(3)을 정한 뒤 곱의 미분으로 g′(3)을 구해 접선까지 가야 합니다. 9번(4.5점)은 원 밖의 점에서 그은 두 접선의 접점을 잇는 현 AB와 중점 M을 t로 나타내고, AM과 OP의 길이를 t의 식으로 만든 다음 t→2⁺ 극한을 취하는 도형·극한 융합형입니다. 17번(4.5점)은 lim {f(2+h)−f(2)}/h=1이나 lim {f(2+h)−f(2−h)}/h=0 같은 조건이 미분가능성이나 연속을 보장하는지 반례(f(x)=3|x−2| 등)로 확인해야 합니다. 14번(4.4점)은 x=y=0을 넣어 f(0)=0을 얻고 도함수의 정의에 함수방정식을 대입해 f′(x)를 f′(0)이 포함된 x의 식으로 만든 뒤 f′(2)=30으로 상수를 정합니다. 논술형 3번은 x¹⁰⁰+1=(x+1)²Q(x)+ax+b의 양변을 미분해 x=−1을 대입하는 과정을 빠짐없이 써야 합니다.

학부모가 알아야 할 점

선택형 배점 차이가 최대 0.9점으로 크지 않아 선택형에서는 실수 없이 많이 맞히는 것이, 논술형에서는 과정을 끝까지 쓰는 것이 점수를 가릅니다. 9·18·19번은 조건을 여러 단계로 식에 옮겨야 하는 문항이고, 13·17번은 그래프나 보기를 보고 미분계수의 의미를 판단하는 문항입니다. 해당 문항을 틀렸다면 관련 개념의 이해, 조건 해석, 계산 과정, 시간 부족 중 어디에서 어려움이 있었는지 풀이를 보며 점검할 필요가 있습니다. 논술형은 총 20점입니다. 논술형 1번은 무리식이 들어간 극한값 조건으로 두 상수를 구하는 6점 문제이고, 논술형 2번은 연속함수 조건으로 f(3)과 a를 구하는 7점 문제, 논술형 3번은 x¹⁰⁰+1을 (x+1)²으로 나눈 나머지를 미분을 이용해 구하는 7점 문제입니다. 따라서 극한의 상수 결정, 연속 조건의 활용, 나머지 정리와 미분을 연결하는 과정을 각각 근거와 함께 서술하는 연습이 필요합니다.

다음 시험 대비 — 이번 시험에서 중요했던 학습 포인트

신장고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 극한·연속부터 미분계수, 접선, 평균값 정리까지가 범위였고, 선택형 배점이 3.8~4.7점으로 촘촘해 한 문항의 실수가 크게 갈리지 않는 대신 논술형 20점의 비중이 큽니다. 미분계수와 도함수가 36.9점으로 가장 크므로 미분계수 정의의 변형(12·17번), 함수방정식(14번), 평균변화율로 정의된 함수의 미분가능성(19번)을 정리하고, 미분가능성 판단은 반례 함수(절댓값 함수)로 확인하는 습관을 들이세요. 극한은 ∞−∞ 꼴의 유리화(3번), x→−∞에서 부호 처리(2번), 극한의 성질로 다른 극한 구하기(5번)가 기본이고, 9번처럼 도형 길이를 t로 나타내는 융합형이 4.5점으로 출제됐습니다. 연속은 구간별 함수와 절댓값 함수의 연속(7·8번), 사잇값 정리(6번)를 묶어서 연습하세요. 논술형은 무리식 극한의 상수 결정, 연속 조건, 나머지 정리와 미분의 연결을 단계별로 쓰는 틀이 필요합니다.

자주 묻는 질문

2024 신장고2 2학기 중간 수학Ⅱ 시험은 어떻게 구성됐나?

2024년 10월 22일 시행. 선택형 19문항 80점(3.8~4.7점)과 논술형 3문항 20점(6·7·7점), 총 100점입니다. 단원별로는 미분계수와 도함수 36.9점, 함수의 극한 30.4점, 함수의 연속 19.4점, 도함수의 활용 13.3점입니다.

난이도는 어느 정도였나?

전체 난도 중, 고득점 난도 중상입니다. 공식 적용형이 많지만 4.4점 이상 6문항과 논술형 3번에서 조건을 여러 단계로 옮겨야 합니다. 공식 평균·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.

풀이가 길어진 문항은?

19번(평균변화율로 만든 함수의 미분가능성), 18번(곱의 미분과 접선), 9번(원의 두 접선과 극한), 17번(미분계수 정의 보기), 14번(함수방정식)과 논술형 3번(미분을 이용한 다항식의 나머지)입니다.

시험 구조에서 눈에 띄는 점은?

선택형 배점이 번호 순서와 무관하게 3.8~4.7점으로 정해져 있어(예: 10번 3.9점, 9번 4.5점) 번호만으로 난도를 가늠하기 어렵습니다. 논술형 3번은 나머지 정리와 미분을 연결하는 문항으로 범위 안에서도 응용 성격이 강합니다.