2024 신장고등학교 2학년 확률과 통계 · 2학기 기말 시험지 분석

문항·배점 구성

시험지 6쪽, 선택형 24문항 90점 + 논술형 2문항 10점, 총점 100점. 선택형 배점은 3.4점(1·2번) · 3.5점(3~5번) · 3.6점(6~9번) · 3.7점(10~13번) · 3.8점(14~16번) · 3.9점(17~19번) · 4점(20·21번) · 4.1점(22·23번) · 4.2점(24번)이고, 논술형 1·2번은 각 5점입니다. 합계 6.8+10.5+14.4+14.8+11.4+11.7+8+8.2+4.2+10=100점으로 검산됩니다. 단원별로는 표본평균의 분포 41.9점(1·2·4·8·9·11·15·16·18·24번 + 논술형 1), 모평균의 추정 22.8점(7·10·12·17·19·21번), 정규분포 15.4점(5·14·20·23번), 이항분포 12.1점(3·6번 + 논술형 2), 이항분포와 정규분포의 관계 7.8점(13·22번)입니다.

난이도

시험지 6쪽 전체를 기준으로 본 전체 난도는 중, 고득점 난도는 중상입니다. 선택형 24문항의 배점이 3.4점(1·2번)부터 4.2점(24번)까지 번호 순으로 0.1점씩 올라가 번호가 곧 난도 순서표입니다. 1~10번(3.4~3.7점)은 E(X̄)(1번), X̄의 표준편차(2번), B(16,p)의 분산(3번), X̄가 따르는 정규분포 기호(4번), 정규분포표로 확률(5번), V(2X−1)=30으로 n(6번), 95% 신뢰구간에서 x̄(7번), 구간 확률이 최대인 a(8번), X̄≤69일 확률(9번), 99% 신뢰구간의 b(10번)처럼 공식을 한 번 쓰는 문항입니다. 11~17번(3.7~3.9점)은 숫자 공 모집단의 X̄ 분산(11번), 신뢰구간 길이 조건의 n 최솟값(12번), 동전 192번의 정규근사(13번), 두 제품의 확률이 같은 k(14번), 표본평균과 모평균의 차가 1 이하일 확률 0.96 이상인 n(15번), 표본 크기에 따른 X̄ 밀도함수 그래프(16번), 신뢰구간 성질 보기(17번)로 한 단계 더 깁니다. 18~24번(3.9~4.2점)은 모집단과 표본평균의 확률을 a·b로 나타내기(18번), 표본 크기와 신뢰도가 다른 두 신뢰구간(19번), 두 정규분포의 확률 조건(20번), 신뢰구간 길이의 비로 신뢰도 a(21번), 정규근사로 n의 최솟값(22번), 두 누적확률 함수 조건(23번), 크기가 n·4n인 두 표본평균(24번)으로 조건을 식으로 옮기는 단계가 여러 번입니다. 논술형은 사과 16개 상자 무게의 분포(1번, 5점)와 카드 시행의 이항분포(2번, 5점)입니다. 공식 평균점수·정답률·학교 채점 기준은 확인되지 않았습니다.

문항별 핵심 개념

시험의 주요 특징

① 이항분포(3·6번, 논술형 2) — B(16,p)에서 E(X)=4일 때 V(X)(3번), 주사위 n번 중 짝수 횟수 X에 대해 V(2X−1)=30인 n(6번). 논술형 2번은 카드에 적힌 수가 k의 약수이면 2점·아니면 −1점인 시행 50회의 점수 X에 대해 5V(X)=54E(X)를 만족하는 k를 모두 구하는 과정을 씁니다. ② 정규분포(5·14·20·23번) — N(50,5²)에서 P(40≤X≤55)(5번), N(120,5²)·N(100,3²)인 두 제품의 확률이 같아지는 k(14번), N(4,4²)·N(m,σ²)에서 P(|X|≤4)+P(Y≥4)=1/2일 때 P(Y≥4−σ/2)(20번), N(m+6,σ²)·N(m,σ²)의 f(x)=P(X≤x)·g(x)=P(Y≥x)로 f(11)=g(23)·f(k)=g(k)=0.0668일 때 E(X)+σ(X)+k(23번). ③ 이항분포와 정규분포의 관계(13·22번) — 동전 두 개를 192번 던져 둘 다 앞면이 54번 이상일 확률(13번), 주사위 n번에서 5의 눈 횟수가 |X−n/6|≥10일 확률이 0.0456 이상인 n의 최솟값(22번). ④ 표본평균의 분포(1·2·4·8·9·11·15·16·18·24번, 논술형 1) — E(X̄)(1번), N(50,6²)에서 n=9인 X̄의 표준편차(2번), X̄가 근사적으로 따르는 분포(4번), N(10,8²)·n=16에서 P(a−1≤X̄≤a+3)이 최대인 a(8번), N(65,10²)·n=25에서 X̄≤69일 확률(9번), 1·1·1·2·2·5가 적힌 공에서 X̄의 분산이 1/10인 n(11번), 표본평균과 모평균의 차가 1 이하일 확률이 0.96 이상인 n의 최솟값(15번), 표본 크기 n₁<n₂인 X̄의 밀도함수 그래프(16번), P(20≤X≤80)=a·P(54≤X̄≤56)=b로 P(|Z|≥2)(18번), 크기 n·4n인 X̄·Ȳ의 대칭과 확률 조건으로 P(Ȳ≥30)(24번). 논술형 1번은 N(320,32²)인 사과 16개와 124g 상자의 합이 5.5kg 이상일 확률을 표본평균의 분포로 구합니다. ⑤ 모평균의 추정(7·10·12·17·19·21번) — 95% 신뢰구간 28.5≤m≤31.5에서 x̄(7번), 99% 신뢰구간의 b(10번), b−a≤0.2σ인 n의 최솟값(12번), 신뢰구간 길이에 대한 보기(17번), 크기 100·95%와 크기 25·99% 두 신뢰구간에서 x̄₁−x̄₂=3.2·a−c=3(b−d)로 b−a(19번), n개 98%의 길이 l과 4n개 a%의 길이 3l/10으로 a(21번).

상대적으로 변별력이 높은 문항

4점 이상 5문항과 3.9점 18·19번, 논술형이 변별 구간입니다. 24번(4.2점)은 P(X̄≤x)=P(X̄≥40−x)에서 모평균 20을 먼저 얻고, X̄와 Ȳ의 표준편차가 2배 차이 난다는 점을 써서 두 확률의 합 0.3085를 하나의 z값으로 맞춘 뒤 σ/√n을 정해야 합니다. 23번(4.1점)은 f(11)=g(23)에서 두 분포의 대칭 관계로 m을, f(k)=g(k)=0.0668에서 표준화 값 1.5로 σ와 k를 차례로 구하는 구조라 조건을 읽는 순서가 중요합니다. 22번(4.1점)은 B(n,1/6)을 정규분포로 근사한 뒤 |X−n/6|≥10의 확률 0.0456이 |Z|≥2에 해당한다는 것을 보고 표준편차 조건을 n에 대한 부등식으로 바꿔야 합니다. 21번(4점)은 신뢰구간의 길이가 z값×σ/√n에 비례한다는 것을 써서 표본 크기 4배와 길이 3/10배로 새 z값을 구하고 신뢰도를 역산합니다. 19번(3.9점)은 신뢰도와 표본 크기가 모두 다른 두 신뢰구간의 끝점 관계 a−c=3(b−d)를 σ에 대한 방정식으로 정리해야 하고, 18번은 모집단 X와 표본평균 X̄를 각각 표준화해 a·b를 같은 Z 구간으로 옮겨야 합니다. 논술형 1번은 상자 무게를 사과 무게의 합으로 보고 표본평균의 분포 N(320, 8²)로 바꾸는 과정이 핵심이고, 논술형 2번은 k의 약수 개수에 따라 한 번의 시행에서 2점을 얻을 확률이 달라지므로 k=1~5를 경우별로 따져 이항분포의 평균·분산을 세워야 합니다.

학부모가 알아야 할 점

통계적 추정이 64.7점을 차지한 시험이라 표본평균과 신뢰구간의 공식을 정확히 쓰는지가 기본 점수를 좌우하고, 뒤쪽 4점대 문항에서는 조건을 표준화 식으로 옮기는 단계가 길어집니다. 24번은 크기가 다른 두 표본평균의 표준편차 관계를 쓰는 문제, 23번은 두 정규분포의 대칭으로 평균과 표준편차를 차례로 정하는 문제, 22번은 이항분포를 정규분포로 근사해 n의 부등식을 세우는 문제, 19·21번은 신뢰구간의 끝점과 길이 관계를 식으로 세우는 문제입니다. 해당 문항을 틀렸다면 관련 개념의 이해, 조건 해석, 계산 과정, 시간 부족 중 어디에서 어려움이 있었는지 풀이를 보며 점검할 필요가 있습니다. 논술형은 두 문항의 내용이 다릅니다. 논술형 1번(5점)은 사과 16개와 상자를 합한 무게를 표본평균의 분포로 바꿔 특상품일 확률을 구하는 문제이고, 논술형 2번(5점)은 k의 약수 개수에 따라 달라지는 성공 확률로 이항분포의 평균·분산 식을 세워 조건을 만족하는 k를 찾는 문제이므로, 각각 분포를 바꾸는 근거와 경우를 나누는 과정을 순서대로 적어 보는 연습이 필요합니다.

다음 시험 대비 — 이번 시험에서 중요했던 학습 포인트

신장고 확률과 통계 2학기 기말은 통계적 추정이 64.7점(표본평균의 분포 41.9 + 모평균의 추정 22.8)으로 시험의 중심이었고, 2학기 중간 범위였던 이항분포·정규분포가 35.3점 함께 나왔습니다. 표본평균은 E(X̄)=m, σ(X̄)=σ/√n을 공식으로 바로 쓰는 문항(1·2·4번)부터 모집단과 표본평균을 함께 표준화하는 문항(18·24번)까지 단계가 넓으므로, 문제마다 ‘지금 다루는 것이 X인지 X̄인지’를 먼저 적는 습관이 필요합니다. 모평균의 추정은 신뢰구간 공식 x̄±z·σ/√n의 각 요소(표본평균, 신뢰도, 표본 크기)가 바뀔 때 길이와 끝점이 어떻게 변하는지를 묻는 문항(12·17·19·21번)이 반복되므로 길이 = 2z·σ/√n을 기준으로 정리해 두세요. 이항분포의 정규근사(13·22번)와 두 정규분포 비교(14·20·23번)는 2학기 중간과 같은 유형이 다시 나왔습니다. 선택형 배점이 3.4~4.2점으로 촘촘해 시간 운영이 중요하고, 논술형은 각 5점이라 분포를 바꾸는 근거를 한 줄씩 적어 부분 점수를 지켜야 합니다.

자주 묻는 질문

2024 신장고2 2학기 기말 확률과 통계 시험은 어떻게 구성됐나?

2024년 12월 9일 시행. 선택형 24문항 90점(3.4~4.2점)과 논술형 2문항 10점(각 5점), 총 100점입니다. 단원별로는 표본평균의 분포 41.9점, 모평균의 추정 22.8점, 정규분포 15.4점, 이항분포 12.1점, 이항분포의 정규근사 7.8점입니다.

난이도는 어느 정도였나?

전체 난도 중, 고득점 난도 중상입니다. 1~10번은 공식을 바로 쓰는 문항이고, 18번 이후에 두 분포·두 표본·두 신뢰구간을 비교하는 문항이 몰려 있습니다. 공식 평균·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.

풀이가 길어진 문항은?

24번(크기가 다른 두 표본평균), 23번(두 정규분포의 누적확률 조건), 22번(정규근사로 n의 최솟값), 21번(신뢰구간 길이의 비로 신뢰도), 19번(두 신뢰구간의 끝점 관계), 논술형 2번(k에 따른 이항분포)입니다.

시험 구조에서 눈에 띄는 점은?

같은 학교 1학기 기말과 똑같이 선택형 24문항 90점(3.4~4.2점)과 논술형 2문항 10점(각 5점) 구조입니다. 통계적 추정이 64.7점으로 중심이고, 이항분포의 정규근사와 두 정규분포 비교가 2학기 중간에 이어 다시 나왔습니다.