풍산고등학교 2학년 2025학년도 1학기 기말 수학Ⅰ 시험은 자료 기준 선택형 17문항 80점과 서술형 3문항 20점으로, 수열 74.4점(Σ 29.8·등차 19.3·귀납 16.3·등비 9.0)과 삼각함수의 활용 25.6점이 범위였습니다. 선택형 배점이 3.9점부터 5.5점까지 번호순으로 올라가고, 등비수열과 로그의 부분분수 합(17번), 두 갈래 점화식(16번), Σ 조건의 재배열(15번), 평행사변형과 외접원 서술형(18번)이 변별하는 중 난도(고득점 상)의 시험입니다.
분석 게재 2026.10.18
자료의 문항별 배점을 합산했습니다(단위: 점, 14번 5.3점은 역산). 수열의 합 29.8 · 삼각함수의 활용 25.6 · 등차 19.3 · 귀납 16.3 · 등비 9.0.
선택형 배점이 번호순으로 올라 구간으로 묶었습니다. 선택형 17 + 서술형 3 = 20문항 기준.
자료 기준 20문항, 선택형 17문항 80점 + 서술형 3문항 20점, 총점 100점. 선택형 배점은 3.9점(1·2번)·4.1점(3·4번)·4.3점(5·6번)·4.5점(7번)·4.7점(8·9번)·4.9점(10·11번)·5.1점(12·13번)·5.3점(14·15번)·5.4점(16번)·5.5점(17번)으로 번호순 상승입니다. 14번은 자료에 배점 표기가 빠져 있어 총점 100점에서 역산한 5.3점으로 집계했습니다. 서술형은 18번 7점((1) 2점·(2) 3점·(3) 2점, (2)는 총점에서 역산), 19번 7점, 20번 6점입니다. 단원별로는 수열의 합(Σ) 29.8점(6·8·11·13·15·17번), 삼각함수의 활용 25.6점(4·7·9·14번 + 서술형 18번), 등차수열 19.3점(1·3·5번 + 서술형 19번), 귀납적 정의·수학적 귀납법 16.3점(10·16번 + 서술형 20번), 등비수열 9.0점(2·12번)입니다. 수열 단원 합계 74.4점입니다.
자료에 실린 20문항 전체를 기준으로 본 전체 난도는 중, 고득점 난도는 상입니다. 선택형 17문항의 배점이 3.9점부터 5.5점까지 번호순으로 올라가 번호가 곧 난도 순서인 구조입니다. 1~6번(3.9~4.3점)은 등차수열의 일반항, 등비수열의 항 번호, 처음으로 음수가 되는 항, 사인 비로 코사인값, 나머지가 1인 수의 합, Σ 계산으로 공식 한 번이면 끝납니다. 7~11번(4.5~4.9점)은 사인법칙·코사인법칙으로 삼각형의 모양 판정(7번), Σaₖ·Σaₖ²을 이용한 t의 값(8번), 변의 관계식으로 tanC(9번), Σm·m!<(n+1)!의 수학적 귀납법 빈칸(10번), 분수식 Σ를 부분분수로 정리(11번)로 한 단계가 더 붙습니다. 12~17번(5.1~5.5점)은 Sₙ=5·3ⁿ+k가 첫째항부터 등비수열이 되는 조건(12번), Σ로 정리하는 항등식의 계수(13번), 각이 주어진 삼각형에서 넓이 분할로 AD(14번), 두 수열의 Σ 조건을 짝·홀 번째 항으로 재배열(15번), 두 갈래 점화식에서 a₁의 최솟값과 최댓값(16번), 등비수열에 로그를 씌운 수열의 부분분수 합(17번)으로 변별합니다. 서술형 3문항(20점)은 평행사변형과 외접원(18번, 7점), 등차수열의 첫째항(19번, 7점), 점화식을 정리해 Σ의 차(20번, 6점)입니다. 공식 평균점수·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.
| 문항 | 핵심 개념 | 성격 | 분석 난도 |
|---|---|---|---|
| 1 | 첫째항 3, 공차 5인 등차수열의 a₁₀ (3.9점) | 등차수열 · 일반항 | 하 |
| 2 | a₃=6, a₉=48인 등비수열에서 aₖ=192인 k (3.9점) | 등비수열 · 일반항 | 하 |
| 3 | a₃=87, a₆=78인 등차수열에서 처음으로 음수가 되는 항 (4.1점) | 등차수열 · 음수가 되는 항 | 하 |
| 4 | sinA:sinB:sinC=2:3:4일 때 cosA (4.1점) | 사인법칙·코사인법칙 | 중하 |
| 5 | 40 이상 100 이하에서 6으로 나눈 나머지가 1인 수의 합 (4.3점) | 등차수열의 합 | 중하 |
| 6 | Σₖ₌₁⁶(k−1)²+Σⱼ₌₂⁶2j (4.3점) | 수열의 합 · Σ 계산 | 하 |
| 7 | sinB=2cosA·sinC를 항상 만족하는 삼각형 (4.5점) | 삼각형의 모양 판정 | 중 |
| 8 | Σaₖ=12, Σaₖ²=160으로 Σ(aₖ−t)²에 대한 조건에서 t (4.7점) | 수열의 합 · Σ의 성질 | 중 |
| 9 | (a+b)²=c²+(3/2)ab일 때 tanC (4.7점) | 코사인법칙 · 탄젠트 | 중 |
| 10 | Σm·m!<(n+1)! 증명의 (가)~(라)로 f(p)+g(q) (4.9점) | 수학적 귀납법 · 빈칸 | 중 |
| 11 | Σₖ₌₁¹⁰{2k/(2k−1)+(4k+1)/(2k+1)}=q/p일 때 p+q (4.9점) | 수열의 합 · 부분분수 | 중 |
| 12 | Sₙ=5·3ⁿ+k가 첫째항부터 등비수열이 되는 k (5.1점) | 등비수열 · Sₙ과 aₙ | 중 |
| 13 | 2(n+1)+4(n+2)+…+2n·2n=n(n+1)(an+b)/3의 a+b (5.1점) | 수열의 합 · 항등식 | 중 |
| 14 | AB=8, AC=12, ∠BAD=30°, ∠DAC=90°일 때 AD (5.3점, 역산) | 삼각형의 넓이 · 길이 | 중상 |
| 15 | 두 수열의 Σ 조건과 a₁+b₁=30, a₂₁=−b₂₁로 Σₖ₌₁¹⁰a₂ₖ (5.3점) | 수열의 합 · Σ의 재배열 | 상 |
| 16 | (aₙ₊₁−aₙ−2)(aₙ₊₁+2aₙ)=0, a₄=a₂+20인 a₁의 최솟값과 최댓값의 합 (5.4점) | 귀납적 정의 · 경우 나누기 | 상 |
| 17 | 첫째항 10·공비 r, bₙ=log aₙ, Σ1/(bₖbₖ₊₁)=4/(b₆−b₁)일 때 r (5.5점) | 등비수열·로그 · 부분분수 합 | 중상 |
| 서술 18 | 둘레 16, cos∠ABC=1/3, △ABC 외접원 넓이 27π/4: (1) AC 2점 (2) AB 3점 (3) BD 2점 | 사인법칙·코사인법칙 · 평행사변형 | 중상 |
| 서술 19 | 공차가 자연수인 등차수열에서 aₖ₊₁=6 조건으로 첫째항 (7점) | 등차수열 · 첫째항 | 중 |
| 서술 20 | aₙ<aₙ₊₁, (aₙ₊₁+aₙ)²/4=aₙaₙ₊₁+9/4일 때 Σₖ₌₂⁹aₖ₊₁−Σₖ₌₁⁸aₖ (6점) | 귀납적 정의 · Σ의 차 | 중상 |
① 삼각함수의 활용(4·7·9·14번, 서술형 18번) — sinA:sinB:sinC=2:3:4일 때 cosA(4번), sinB=2cosA·sinC를 만족하는 삼각형의 모양(7번), (a+b)²=c²+(3/2)ab일 때 tanC(9번), AB=8·AC=12이고 ∠BAD=30°·∠DAC=90°인 BC 위의 점 D로 AD의 길이(14번), 서술형 18번은 둘레 16·cos(∠ABC)=1/3인 평행사변형 ABCD에서 삼각형 ABC의 외접원 넓이가 27π/4일 때 (1) AC, (2) AB, (3) BD를 차례로 구합니다. ② 등차수열(1·3·5번, 서술형 19번) — 첫째항 3·공차 5에서 a₁₀(1번), a₃=87·a₆=78에서 처음으로 음수가 되는 항(3번), 40 이상 100 이하에서 6으로 나눈 나머지가 1인 수의 합(5번), 서술형 19번은 공차가 자연수인 등차수열에서 aₖ₊₁=6 조건으로 첫째항을 과정과 함께 구합니다. ③ 등비수열(2·12번) — a₃=6·a₉=48에서 aₖ=192인 k(2번), Sₙ=5·3ⁿ+k일 때 첫째항부터 등비수열이 되는 k(12번). ④ 수열의 합(6·8·11·13·15·17번) — Σ(k−1)²+Σ2j(6번), Σaₖ=12·Σaₖ²=160을 이용해 Σ(aₖ−t)²에 대한 조건으로 t(8번), Σ{2k/(2k−1)+(4k+1)/(2k+1)}=q/p의 p+q(11번), 2(n+1)+4(n+2)+…+2n·2n=n(n+1)(an+b)/3의 a+b(13번), 두 수열에 대한 Σ 조건 두 개와 a₁+b₁=30·a₂₁=−b₂₁로 Σa₂ₖ(15번), 첫째항 10·공비 r인 등비수열의 상용로그 bₙ으로 Σ1/(bₖbₖ₊₁)=4/(b₆−b₁)일 때 r(17번). ⑤ 귀납적 정의·수학적 귀납법(10·16번, 서술형 20번) — Σm·m!<(n+1)!을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정의 (가)~(라)(10번), (aₙ₊₁−aₙ−2)(aₙ₊₁+2aₙ)=0과 a₄=a₂+20을 만족하는 a₁의 최솟값과 최댓값의 합(16번), 서술형 20번은 증가수열이 (aₙ₊₁+aₙ)²/4=aₙaₙ₊₁+9/4를 만족할 때 Σₖ₌₂⁹aₖ₊₁−Σₖ₌₁⁸aₖ를 과정과 함께 구합니다. 채점 기준은 공개되지 않았습니다.
5.1점 이상 6문항(12~17번)과 서술형 18·20번이 변별 구간입니다. 17번(5.5점)은 bₙ=log aₙ이 공차 log r인 등차수열이 된다는 것을 먼저 보고, 1/(bₖbₖ₊₁)을 부분분수로 나눠 소거한 결과를 b₆−b₁과 연결해야 해 등비수열·로그·부분분수가 한 문항에 모입니다. 16번(5.4점)은 aₙ₊₁=aₙ+2 또는 aₙ₊₁=−2aₙ의 두 갈래가 매 단계 생기므로 a₂→a₃→a₄로 가는 경우를 모두 나누고 a₄=a₂+20을 만족하는 경로만 골라 a₁을 구해야 합니다. 15번(5.3점)은 두 Σ 조건을 더하거나 빼서 aₖ₊₁과 (−1)^k aₖ의 짝수 번째 항만 남기는 재배열이 핵심이고, a₁+b₁·a₂₁+b₂₁ 조건으로 끝항을 처리해야 합니다. 14번은 삼각형 ABC의 넓이를 △ABD+△ADC로 나눠 AD에 대한 식을 세우는 발상이 필요합니다. 12번은 n=1일 때 a₁=S₁과 n≥2일 때의 aₙ이 같은 식이 되어야 '첫째항부터' 등비수열이라는 점을 써야 합니다. 서술형 18번은 코사인값으로 사인값을 구하고 외접원 반지름과 사인법칙으로 AC를 정한 뒤(1), 둘레 조건과 코사인법칙을 연립해 AB를 구하고(2), 평행사변형의 다른 대각선 BD를 코사인법칙으로 구하는(3) 연계 구조라 (1)이 막히면 뒤가 모두 막힙니다. 서술형 20번은 주어진 식을 (aₙ₊₁−aₙ)²=9로 정리하고 aₙ<aₙ₊₁로 공차를 정한 뒤 두 Σ의 차를 항끼리 짝지어 계산해야 합니다.
번호가 곧 난도인 시험이라 몇 번부터 막혔는지가 현재 위치를 보여 줍니다. 1~6번은 공식 적용, 7~11번은 사인법칙·코사인법칙·Σ 정리가 한 번 더 들어가는 문항, 12~17번은 여러 개념을 이어 붙이거나 경우를 나눠야 하는 문항입니다. 해당 문항을 틀렸다면 관련 개념의 이해, 조건 해석, 계산 과정, 시간 부족 중 어디에서 어려움이 있었는지 풀이를 보며 점검할 필요가 있습니다. 서술형은 총 20점입니다. 18번(7점)은 평행사변형과 외접원에서 사인법칙·코사인법칙으로 대각선과 변의 길이를 차례로 구하는 연계 문제, 19번(7점)은 공차가 자연수라는 조건으로 등차수열의 첫째항을 정하는 문제, 20번(6점)은 주어진 관계식을 정리해 수열의 규칙을 찾고 두 합의 차를 구하는 문제입니다. 세 문항의 성격이 서로 다르니 각각 어떤 근거로 식을 세웠는지 아이의 풀이를 함께 확인해 주세요.
풍산고 2학년 1학기 기말 수학Ⅰ은 2024·2025년 모두 삼각함수의 활용과 수열이 범위였고, 2025년은 선택형 17문항 80점 + 서술형 3문항 20점으로 수열이 74.4점을 차지했습니다. 두 해 모두 수학적 귀납법 빈칸 채우기(2024년 11번·2025년 10번), 원이 들어간 도형에서 코사인법칙을 쓰는 서술형(2024년 19번·2025년 18번), 점화식을 세우거나 정리하는 서술형(2024년 20번·2025년 20번)이 나왔으므로 이 세 유형은 반드시 준비하세요. 2025년은 Σ 문항이 6개(29.8점)로 가장 많았고 부분분수(11·17번), Σ의 재배열(15번), 항등식의 계수(13번)가 고배점이었으니 Σ의 성질과 소거 계산을 집중적으로 연습해야 합니다. 두 갈래 점화식(16번)처럼 경우를 나눠야 하는 귀납적 정의 문항은 a₁부터 몇 항을 직접 나열해 보는 습관이 도움이 됩니다. 삼각함수의 활용은 사인 비→변의 비, 변의 관계식→코사인값, 넓이 분할로 길이 구하기가 대표 유형입니다.
제공받은 기출 자료(문항과 배점이 타이핑된 재구성본 6쪽, 2015 개정 교육과정 기준)를 하남EDU 편집부가 직접 보고 문항 구성·배점·출제 개념·난도를 정리했습니다. 14번의 배점과 서술형 18번 (2)의 배점은 자료에 빠져 있어 총점 100점에서 역산했습니다. 8번과 서술형 19번은 자료에 실린 조건만으로는 값이 하나로 정해지지 않아, 재구성 과정에서 원본의 조건 일부가 달라졌을 수 있습니다. 원본 시험지의 쪽수·시행일·서술형 채점 기준은 자료에 없어 확인되지 않았습니다. 시험 문항은 풍산고등학교 저작물이므로 문항 원문·그림·정답은 싣지 않습니다. 공식 평균점수·정답률은 확인되지 않았고, 난도는 문항 구조 기준의 편집부 평가입니다. 학교의 공식 자료가 아닙니다.
원본 시험지는 공개·판매·다운로드되지 않습니다. 이 페이지는 문항 번호·핵심 개념·배점·난도만 정리한 분석정보이며 문항 전문과 시험지 이미지는 싣지 않습니다. 학교의 공식 자료가 아닙니다.
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