풍산고등학교 2학년 2024학년도 2학기 중간 수학Ⅱ 시험은 자료 기준 선택형 18문항 80점과 논술형 3문항 20점으로, 함수의 극한 35.3점·도함수의 활용 29.1점·미분계수와 도함수 18.4점·함수의 연속 17.2점이 범위였습니다. 선택형 배점이 3.7점부터 5.3점까지 번호순으로 올라가고, 교점 개수 함수의 극한과 불연속(18번), 절댓값 함수로 정의한 g(x)(17번), 극한 조건과 중점 조건의 다항함수(16번), 구간별 함수의 최대·최소(15번)가 변별하는 중 난도(고득점 상)의 시험입니다.
분석 게재 2026.10.18
자료의 문항별 배점을 합산했습니다(단위: 점). 함수의 극한 35.3 · 도함수의 활용 29.1 · 미분계수와 도함수 18.4 · 함수의 연속 17.2.
선택형 배점이 번호순으로 올라 구간으로 묶었습니다. 선택형 18 + 논술형 3 = 21문항 기준.
자료 기준 21문항, 선택형 18문항 80점 + 논술형 3문항 20점, 총점 100점. 선택형 배점은 3.7점(1·2번)·3.9점(3·4번)·4.1점(5·6번)·4.3점(7·8·9번)·4.5점(10·11번)·4.7점(12·13번)·4.9점(14·15번)·5.1점(16·17번)·5.3점(18번)으로 번호순 상승이며, 합계 80점을 검산했습니다. 논술형은 19번 7점((1) 4점 + (2) 3점), 20번 6점, 21번 7점입니다. 단원별로는 함수의 극한 35.3점(1~5·14·16번 + 논술형 20번), 도함수의 활용 29.1점(6·9·10·11·12번 + 논술형 21번), 미분계수와 도함수 18.4점(7·8·13·17번), 함수의 연속 17.2점(15·18번 + 논술형 19번)입니다.
자료에 실린 21문항 전체를 기준으로 본 전체 난도는 중, 고득점 난도는 상입니다. 선택형 18문항의 배점이 3.7점부터 5.3점까지 번호순으로 올라가 번호가 곧 난도 순서인 구조입니다. 1~6번(3.7~4.1점)은 그래프에서 좌·우극한 읽기, 대입형 극한, 극한의 성질, 극한의 대소 관계, 극한 계산 판정, 평균값 정리처럼 정의를 한 번 적용하면 끝납니다. 7~13번(4.3~4.7점)은 접선 기울기와 다항식의 나머지(7번), 구간별 함수의 미분가능성 보기(8번), 평행한 접선(9번), 역함수가 존재할 조건(10번), 실근이 구간에 있을 조건(11번), 극대·극소(12번), 미분계수의 정의로 바꾸는 극한(13번)으로 조건을 식으로 옮기는 단계가 하나 더 붙습니다. 14~18번(4.9~5.3점)은 두 극한 조건으로 삼차함수 결정(14번), 구간 [a−1, a+1]에서 최댓값·최솟값이 존재하는 정수 a의 개수(15번), 극한 조건과 중점 조건으로 다항함수 결정(16번), 절댓값 함수로 정의한 우극한형 g(x)(17번), 그래프와 직선의 교점 개수 함수의 극한·불연속(18번)으로 변별합니다. 논술형 3문항(20점)은 구간별 함수의 연속과 최대·최소(19번, 7점), 극한 조건으로 정한 두 함수(20번, 6점), 곡선 밖의 점에서 그은 두 접선의 수직 조건(21번, 7점)입니다. 공식 평균점수·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.
| 문항 | 핵심 개념 | 성격 | 분석 난도 |
|---|---|---|---|
| 1 | 그래프에서 x→1+ 극한과 x→0 극한의 합 (3.7점) | 극한 · 그래프 | 하 |
| 2 | (2x−1)/(x⁴+x²+1)의 x→−1 극한 (3.7점) | 극한 · 대입 | 하 |
| 3 | lim f=−2, lim g=2일 때 (g−3f)/f²의 극한 (3.9점) | 극한의 성질 | 하 |
| 4 | x−1≤f(x)≤x²+3x일 때 x→−1 극한 (3.9점) | 극한의 대소 관계 | 하 |
| 5 | 무리식·유리식·∞ 극한 계산 중 옳지 않은 것 (4.1점) | 극한 계산 판정 | 중하 |
| 6 | f(x)=x²−3x+11, [0,6]에서 평균값 정리를 만족하는 c (4.1점) | 평균값 정리 | 하 |
| 7 | (−4,1)에서 접선 기울기 3인 다항함수를 (x+4)²으로 나눈 나머지 R(−2) (4.3점) | 미분계수 · 나머지 | 중 |
| 8 | 구간별로 정의된 세 함수 중 실수 전체에서 미분가능한 것 (4.3점) | 미분가능성 · 보기 | 중하 |
| 9 | y=½x²−8 위 A(0,−8)·B(4,0)과 평행한 접선의 방정식 (4.3점) | 접선 · 평행 조건 | 중하 |
| 10 | 2x³−ax²+ax+2의 역함수가 존재하는 정수 a의 최댓값 (4.5점) | 증가 · 역함수 존재 | 중 |
| 11 | x³+2x+k=0의 유일한 실근이 (−2,1)에 있는 정수 k의 개수 (4.5점) | 증가 · 실근의 위치 | 중 |
| 12 | x=2에서 극솟값 1, x=0에서 극댓값을 갖는 삼차함수의 극댓값 (4.7점) | 극대와 극소 | 중 |
| 13 | (8,8)에서 접선 기울기 1/2일 때 {x·f(8)−2f(x³)}/(x−2)의 극한 (4.7점) | 미분계수의 정의 | 중 |
| 14 | lim f(x)/(x+1)=20, lim f(x)/(x−3)=28인 삼차함수의 f(1) (4.9점) | 극한 · 미정계수 | 중 |
| 15 | 구간별 함수가 [a−1,a+1]에서 최댓값·최솟값을 모두 갖는 정수 a의 개수 (4.9점) | 연속 · 최대·최소 정리 | 중상 |
| 16 | 두 극한 조건과 y=−1의 세 교점 중 B가 AC의 중점일 때 f(2) (5.1점) | 극한 · 다항함수 결정 | 상 |
| 17 | f=|x²−9|, g(x)=lim_{h→0+}{f(x+2h)−f(x−h)}/h로 g(3)+lim_{x→3−}g(x) (5.1점) | 미분계수 · 절댓값 함수 | 중상 |
| 18 | 그래프와 y=2x+t의 교점 개수 g(t)에서 극한 없는 t의 개수 a, 불연속 t의 개수 b로 a−b (5.3점) | 연속 · 교점 개수 함수 | 상 |
| 논술 19 | 구간별 함수가 [0,4]에서 연속: (1) a·b 4점 (2) 최댓값·최솟값 3점 | 연속 · 최대·최소 서술 | 중 |
| 논술 20 | 이차함수 f·일차함수 g가 극한값 조건의 두 집합을 만족할 때 f(3)−g(1) (6점) | 극한 · 조건 집합 서술 | 중상 |
| 논술 21 | (1,k)에서 y=x²−4x+8에 그은 두 접선이 수직일 때 k (7점) | 접선 · 수직 조건 서술 | 중 |
① 함수의 극한(1~5·14·16번, 논술형 20번) — 그래프에서 x→1+와 x→0의 극한값의 합(1번), (2x−1)/(x⁴+x²+1)의 x→−1 극한(2번), lim f=−2·lim g=2일 때 (g−3f)/f²의 극한(3번), x−1≤f(x)≤x²+3x로 x→−1 극한(4번), 무리식·유리식 극한 계산 중 옳지 않은 것(5번), lim f(x)/(x+1)=20·lim f(x)/(x−3)=28인 삼차함수의 f(1)(14번), 두 극한 조건으로 정한 다항함수와 y=−1의 세 교점 A·B·C에서 B가 AC의 중점일 때 f(2)(16번), 논술형 20번은 일차함수 g와 이차함수 f가 '극한값이 a가 되는 a의 집합'과 '1/(f−g)의 극한이 존재하지 않는 b의 집합' 조건을 만족할 때 f(3)−g(1)을 씁니다. ② 함수의 연속(15·18번, 논술형 19번) — |x|<2·|x|>2·|x|=2에서 식이 다른 함수가 [a−1, a+1]에서 최댓값과 최솟값을 모두 갖는 정수 a의 개수(15번), 그래프로 주어진 f와 직선 y=2x+t의 교점 개수 g(t)에서 극한값이 존재하지 않는 t와 불연속인 t의 개수 차(18번), 논술형 19번은 x<1에서 유리식, x≥1에서 이차식인 함수가 [0, 4]에서 연속이 되는 a·b(4점)와 최댓값·최솟값(3점)을 씁니다. ③ 미분계수와 도함수(7·8·13·17번) — (−4, 1)에서 접선 기울기가 3인 다항함수를 (x+4)²으로 나눈 나머지 R(−2)(7번), 구간별로 정의된 세 함수 중 실수 전체에서 미분가능한 것(8번), (8, 8)에서 접선 기울기 1/2일 때 {x·f(8)−2f(x³)}/(x−2)의 극한(13번), f(x)=|x²−9|로 g(x)=lim_{h→0+}{f(x+2h)−f(x−h)}/h를 정의할 때 g(3)+lim_{x→3−}g(x)(17번). ④ 도함수의 활용(6·9·10·11·12번, 논술형 21번) — [0, 6]에서 평균값 정리를 만족하는 c(6번), 포물선 위의 두 점을 잇는 직선과 평행한 접선(9번), 2x³−ax²+ax+2의 역함수가 존재하는 정수 a의 최댓값(10번), x³+2x+k=0의 실근이 (−2, 1)에 있는 정수 k의 개수(11번), x=2에서 극솟값 1·x=0에서 극댓값을 갖는 삼차함수의 극댓값(12번), 논술형 21번은 (1, k)에서 y=x²−4x+8에 그은 두 접선이 수직일 때 k를 씁니다. 채점 기준은 공개되지 않았습니다.
4.9점 이상 5문항(14~18번)과 논술형 20번이 변별 구간입니다. 18번(5.3점)은 기울기 2인 직선을 위아래로 움직이며 그래프의 끊긴 점·꺾인 점·빈 점을 지날 때마다 교점 개수가 어떻게 바뀌는지 표로 정리해야 하고, '극한값이 존재하지 않는 t'와 '불연속인 t'를 구별해 각각 세야 합니다. 17번(5.1점)은 x≠3에서는 g(x)=3f′(x)이지만 x=3에서는 f가 미분가능하지 않아 우극한형 정의를 직접 계산해야 한다는 점을 구별해야 합니다. 16번(5.1점)은 두 극한 조건으로 f의 차수와 가장 높은 차수의 계수, f(0)·f′(0)을 정하고, y=−1과의 세 교점에서 B가 중점이라는 조건을 근과 계수의 관계로 옮겨야 합니다. 15번(4.9점)은 |x|=2에서 함수가 끊기고 |x|>2에서 분모가 0에 가까워지는 구간이 있으므로, a에 따라 구간 [a−1, a+1]이 x=±2를 포함하는지 경우를 나눠 최댓값·최솟값의 존재를 확인해야 합니다. 14번은 f(−1)=0·f(3)=0에서 f(x)=(x+1)(x−3)(px+q)로 두고 두 극한값으로 p·q를 정하는 전형적인 미정계수 문항입니다. 논술형 20번은 (가)를 f(x)=x의 두 근이 1·−3이라는 뜻으로, (나)를 f(x)−g(x)=0의 근이 −1 하나뿐(중근)이라는 뜻으로 해석하는 것이 출발점입니다. 논술형 21번은 접점을 (t, t²−4t+8)로 두고 접선이 (1, k)를 지나는 t에 대한 이차방정식을 세운 뒤, 두 접선의 기울기 곱이 −1이라는 조건을 근과 계수의 관계로 연결해야 합니다.
번호가 곧 난도인 시험이라 몇 번부터 막혔는지가 현재 위치를 보여 줍니다. 1~6번은 극한과 평균값 정리의 기본 계산, 7~13번은 미분계수·미분가능성·접선 조건을 식으로 옮기는 문항, 14~18번은 그래프를 그리거나 미정계수를 정해야 하는 문항입니다. 해당 문항을 틀렸다면 관련 개념의 이해, 조건 해석, 계산 과정, 시간 부족 중 어디에서 어려움이 있었는지 풀이를 보며 점검할 필요가 있습니다. 논술형은 총 20점입니다. 논술형 1(19번, 7점)은 구간별 함수가 연속이 되는 상수를 구하고 이어서 닫힌구간에서 최댓값·최솟값을 구하는 문제, 논술형 2(20번, 6점)는 극한 조건으로 주어진 집합을 해석해 이차함수와 일차함수를 정하는 문제, 논술형 3(21번, 7점)은 곡선 밖의 점에서 그은 두 접선이 수직이 되는 조건을 구하는 문제입니다. 세 문항의 성격이 서로 다르니 각각 어떤 근거로 식을 세웠는지 아이의 풀이를 함께 확인해 주세요.
풍산고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 함수의 극한부터 극대·극소까지가 범위였고, 함수의 극한(35.3점)과 도함수의 활용(29.1점) 비중이 컸습니다. 선택형 배점이 번호순으로 올라가 같은 해 1학기 중간 수학Ⅰ과 똑같은 3.7~5.3점 배열이었으므로, 1~6번 기본 극한·평균값 정리는 속도로, 7~13번은 미분계수의 정의·미분가능성·역함수 존재 조건을 식으로 옮기는 정확도로 대비하세요. 14~18번은 미정계수 결정(14·16번), 구간별 함수의 최대·최소 존재(15번), 우극한형으로 정의된 함수(17번), 교점 개수 함수의 극한·연속(18번)처럼 그래프를 직접 그려야 하는 문항이 대부분입니다. 논술형 20점은 연속 조건과 최대·최소(19번), 극한 조건의 집합 해석(20번), 곡선 밖의 점에서 그은 접선(21번)으로 성격이 서로 다르니, 각 조건이 어떤 방정식이 되는지 한 줄씩 근거를 적는 서술 틀을 연습하세요.
제공받은 기출 자료(문항과 배점이 타이핑된 재구성본 6쪽, 2015 개정 교육과정 기준)를 하남EDU 편집부가 직접 보고 문항 구성·배점·출제 개념·난도를 정리했습니다. 16번 조건 (가)의 분모가 자료에 상수로 표기되어 있어 원본 시험지의 표기와 다를 수 있습니다. 원본 시험지의 쪽수·시행일·논술형 채점 기준은 자료에 없어 확인되지 않았습니다. 시험 문항은 풍산고등학교 저작물이므로 문항 원문·그림·정답은 싣지 않습니다. 공식 평균점수·정답률은 확인되지 않았고, 난도는 문항 구조 기준의 편집부 평가입니다. 학교의 공식 자료가 아닙니다.
원본 시험지는 공개·판매·다운로드되지 않습니다. 이 페이지는 문항 번호·핵심 개념·배점·난도만 정리한 분석정보이며 문항 전문과 시험지 이미지는 싣지 않습니다. 학교의 공식 자료가 아닙니다.
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