2024년 12월 9일 치른 풍산고등학교 1학년 2학기 기말 수학(하) 시험은 선택형 20문항 90점과 논술형 1문항 10점으로, 무리함수 23.9점·함수 22.0점·순열 17.6점·유리함수 14.4점·조합 13.8점·경우의 수 8.3점이 범위였습니다. 배점이 4.0점부터 5.1점까지 번호순이 아니게 흩어져 있고, 주기·대칭 함수와 유리함수의 교점 개수(6번), 순열·조합 등식 보기(20번), 점근선까지 거리 합의 최솟값(4번), 무리함수와 직선의 교점 조건(8번)이 변별하는 중 난도(고득점 중상)의 시험입니다.
시험일 2024.12.09 · 분석 게재 2026.10.18
시험지와 배점표의 문항별 배점을 합산했습니다(단위: 점). 무리함수 23.9 · 함수 22.0 · 순열 17.6 · 유리함수 14.4 · 조합 13.8 · 경우의 수 8.3.
선택형 배점이 0.1점 단위로 달라 구간으로 묶었습니다. 선택형 20 + 논술형 1 = 21문항 기준.
시험지 6쪽, 선택형 20문항 90점 + 논술형 1문항 10점, 총점 100점. 선택형 배점은 4.0점(2·12번)·4.1점(15번)·4.2점(16번)·4.3점(1·13번)·4.4점(9·14·19번)·4.5점(3·5번)·4.6점(7·11·17번)·4.7점(10·18번)·4.8점(4·8번)·5.0점(20번)·5.1점(6번)으로 번호순이 아니며, 합계 90점을 검산했습니다. 논술형 1번은 [1-1] 4점 + [1-2] 6점입니다. 단원별로는 무리함수 23.9점(8·9·10번 + 논술형 1번), 함수 22.0점(1·2·3·7·11번), 순열 17.6점(14·16·17·19번), 유리함수 14.4점(4·5·6번), 조합 13.8점(15·18·20번), 경우의 수 8.3점(12·13번)입니다. 함수 단원(함수·유리함수·무리함수) 합계 60.3점, 경우의 수 단원(경우의 수·순열·조합) 합계 39.7점입니다.
시험지 6쪽 전체를 기준으로 본 전체 난도는 중, 고득점 난도는 중상입니다. 선택형 20문항의 배점이 4.0점부터 5.1점까지 번호순이 아니게 흩어져 있고, 앞쪽 1~11번이 함수·유리함수·무리함수, 뒤쪽 12~20번이 경우의 수·순열·조합으로 나뉩니다. 함수 영역은 일대일대응으로 일차함수 정하기(1번), f(4x−5) 꼴에서 역함수(2번), 그래프로 주어진 함수의 반복 합성(3번), 역함수가 섞인 합성(7번), 역함수의 반복 합성 g²⁰²⁴(3)(11번)처럼 정의를 차례로 적용하는 문항이 많고, 변별은 주기·대칭 조건으로 그린 함수와 유리함수의 교점 개수(6번, 5.1점), 유리함수 위의 점에서 두 점근선까지 거리 합의 최솟값(4번, 4.8점), 무리함수와 직선이 두 점에서 만나는 k의 범위(8번, 4.8점), 무리함수의 역함수를 넣은 합성함수의 최대·최소(10번, 4.7점)에서 납니다. 경우의 수 영역은 순열 부등식(14번), 증가함수 개수(15번), 사이에 문자가 있는 배열(16번)이 공식형이고, 도로를 추가해 경로 수를 맞추는 13번, 이웃·교대 조건을 함께 쓰는 17번, 최소·최대 원소의 합이 10인 부분집합 개수 18번, 순열·조합 등식 보기 20번(5.0점)이 한 단계 더 깁니다. 논술형(10점)은 무리함수의 역함수(4점)와 함수와 역함수 그래프의 교점(6점)입니다. 공식 평균점수·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.
| 문항 | 핵심 개념 | 성격 | 분석 난도 |
|---|---|---|---|
| 1 | 정의역·공역이 주어진 일대일대응 f(x)=ax+b가 (2,10)을 지날 때 f(−1) (4.3점) | 함수 · 일대일대응 | 중하 |
| 2 | f(4x−5)=−2x+3일 때 f⁻¹(x)=ax+b의 a−b (4.0점) | 함수 · 역함수 | 하 |
| 3 | [0,1]에서 정의된 꺾은선 그래프로 f(1/8)+f²(1/8)+…+f¹⁰(1/8) (4.5점) | 함수 · 반복 합성 | 중 |
| 4 | y=−x/(x−2) 위의 점에서 두 점근선까지 거리 합의 최솟값과 그때의 좌표 (4.8점) | 유리함수 · 점근선과 최솟값 | 중상 |
| 5 | y=(−2x+k)/(x−1)이 제2사분면을 지나지 않을 k로 옳지 않은 것 (4.5점) | 유리함수 · 사분면 | 중 |
| 6 | f(|x|)·주기 4·[0,2]의 식으로 정한 함수와 y=(x+2)/(x+1)의 교점 개수 (5.1점) | 유리함수 · 주기·대칭 함수와 교점 | 상 |
| 7 | x<−2에서 유리함수 f, 무리함수 g로 (g∘(f⁻¹∘g)⁻¹∘g⁻¹)(−3) (4.6점) | 함수 · 역함수의 합성 | 중 |
| 8 | y=√(3−x)−1과 y=−x+k가 두 점에서 만나는 k의 범위로 a²b (4.8점) | 무리함수 · 직선과의 교점 | 중상 |
| 9 | 그래프로 정한 y=√(ax+b)+c의 계수로 만든 유리함수가 지나는 사분면 (4.4점) | 무리함수 · 그래프와 계수 | 중 |
| 10 | 3≤x≤5에서 (f∘g⁻¹)(x)의 최댓값과 최솟값의 차 (4.7점) | 무리함수 · 합성함수의 최대·최소 | 중상 |
| 11 | f(x)=1/(x−1)+1의 역함수 g로 g²⁰²⁴(3) (4.6점) | 함수 · 역함수의 반복 합성 | 중 |
| 12 | 1≤a≤3, 1≤b≤8에서 bᵃ이 세제곱수가 되는 순서쌍 (a,b)의 개수 (4.0점) | 경우의 수 · 세제곱수 | 중하 |
| 13 | B–D 도로를 추가해 A→C 방법이 116가지가 되도록 할 때 추가할 도로 수 (4.3점) | 경우의 수 · 도로망 | 중 |
| 14 | ₙP₃+12ₙ₋₁P₂−ₙP₄<0을 만족하는 자연수 n의 최솟값 (4.4점) | 순열 · 부등식 | 중하 |
| 15 | {1,2,3}→{1,…,5}에서 a<b이면 f(a)<f(b)인 함수의 개수 (4.1점) | 조합 · 증가함수 | 하 |
| 16 | 5개 문자 배열에서 a와 b 사이에 적어도 하나의 문자가 있는 경우의 수 (4.2점) | 순열 · 사이에 끼우기 | 하 |
| 17 | 남 4명·여 3명을 A·B 이웃, 남녀 교대로 세우는 경우의 수 (4.6점) | 순열 · 이웃과 교대 | 중 |
| 18 | 9 이하 자연수에서 n(A)=5, 최소·최대 원소의 합이 10인 A의 개수 (4.7점) | 조합 · 부분집합 | 중상 |
| 19 | 0~5로 만든 서로 다른 세 자리 수 중 2의 배수와 5의 배수 개수의 합 (4.4점) | 순열 · 자연수 만들기 | 중 |
| 20 | ₙPᵣ=r!ₙCᵣ 등 순열·조합 등식 네 개 중 옳은 것 (5.0점) | 순열·조합 · 등식 보기 | 중상 |
| 논술 1 | f(x)=−√(x−3)+5: [1-1] 역함수 4점, [1-2] f와 f⁻¹ 그래프의 교점 6점 | 무리함수 · 역함수와 교점 서술 | 중 |
① 함수(1·2·3·7·11번) — 정의역 [−3,5], 공역 [4,20]에서 일대일대응인 f(x)=ax+b가 (2,10)을 지날 때 f(−1)(1번), f(4x−5)=−2x+3에서 f⁻¹(x)=ax+b의 a−b(2번), [0,1]에서 정의된 꺾은선 그래프의 반복 합성으로 f(1/8)+…+f¹⁰(1/8)(3번), x<−2에서 정의된 유리함수 f와 무리함수 g로 (g∘(f⁻¹∘g)⁻¹∘g⁻¹)(−3)(7번), f(x)=1/(x−1)+1의 역함수 g의 반복 합성 g²⁰²⁴(3)(11번). ② 유리함수(4·5·6번) — y=−x/(x−2)(x<2) 위의 점 P에서 두 점근선에 내린 수선의 길이 합의 최솟값과 그때의 P(4번), y=(−2x+k)/(x−1)이 제2사분면을 지나지 않을 k로 옳지 않은 것(5번), f(|x|)·주기 4·[0,2]의 식으로 정해진 함수와 y=(x+2)/(x+1)(−10≤x≤10)의 교점 개수(6번). ③ 무리함수(8·9·10번, 논술형 1번) — y=√(3−x)−1과 직선 y=−x+k가 두 점에서 만나는 k의 범위 a≤k<b로 a²b(8번), 그래프로 주어진 y=√(ax+b)+c의 계수로 만든 유리함수가 지나는 사분면(9번), 유리함수 f와 무리함수 g로 3≤x≤5에서 (f∘g⁻¹)(x)의 최댓값과 최솟값의 차(10번), 논술형 1번은 f(x)=−√(x−3)+5의 [1-1] 역함수(4점)와 [1-2] f와 f⁻¹의 그래프가 만나는 점(6점)을 풀이 과정과 함께 씁니다. ④ 경우의 수(12·13번) — 1≤a≤3, 1≤b≤8에서 bᵃ이 세제곱수가 되는 순서쌍 개수(12번), A·B·C·D를 잇는 도로망에 B–D 도로를 추가해 A→C 방법이 116가지가 되게 하는 도로 수(13번). ⑤ 순열(14·16·17·19번) — ₙP₃+12ₙ₋₁P₂−ₙP₄<0을 만족하는 최소 n(14번), 5개 문자 중 a와 b 사이에 적어도 하나가 있는 배열(16번), 남학생 4명·여학생 3명을 A·B 이웃, 남녀 교대로 세우기(17번), 0~5로 만든 서로 다른 세 자리 자연수 중 2의 배수와 5의 배수 개수의 합(19번). ⑥ 조합(15·18·20번) — {1,2,3}→{1,…,5}에서 a<b이면 f(a)<f(b)인 함수의 개수(15번), 9 이하 자연수의 부분집합 중 n(A)=5이고 최소·최대 원소의 합이 10인 A의 개수(18번), ₙPᵣ=r!ₙCᵣ 등 순열·조합 등식 네 개의 참·거짓(20번). 채점 기준은 공개되지 않았습니다.
5점대 6·20번과 4.7~4.8점 4·8·10·18번이 변별 구간입니다. 6번(5.1점)은 (가) f(|x|)로 y축 대칭, (나) 주기 4, (다) [0,2]의 식을 차례로 써서 −10≤x≤10 전체의 지그재그 그래프를 그린 뒤, 점근선 x=−1·y=1을 가진 유리함수와의 교점을 구간마다 세야 해 그래프를 정확히 그리는 것 자체가 풀이입니다. 4번(4.8점)은 P(a, −a/(a−2))에서 두 점근선까지 거리를 2−a와 2/(2−a)로 나타내야 산술·기하평균이 보이고, 등호 조건으로 P의 좌표까지 구해야 합니다. 8번(4.8점)은 직선이 무리함수의 끝점을 지날 때와 접할 때(판별식) 두 경계를 모두 구해 등호 포함 여부를 정해야 합니다. 10번(4.7점)은 g⁻¹의 정의역과 치역을 먼저 정리하고 f에 넣어 감소함수의 양 끝값으로 최대·최소를 잡는 순서가 필요합니다. 13번은 B–D 도로가 생기면 A→B→D→C와 A→D→B→C 경로가 추가된다는 것을 빠뜨리지 않아야 하고, 18번은 최소·최대 원소 쌍 (1,9)·(2,8)·(3,7)마다 사이에서 고를 수 있는 원소의 조합을 따로 세야 합니다. 20번(5.0점)은 등식 네 개를 각각 공식 변형이나 작은 수 대입으로 확인해야 하므로 시간이 걸립니다. 논술형 [1-2](6점)은 f가 감소함수이므로 교점이 직선 y=x 위에만 있다고 단정할 수 없어, 역함수 식의 정의역 조건과 교점 후보를 하나씩 확인하는 서술이 필요합니다.
함수 단원이 60점, 경우의 수 단원이 40점인 시험이라 앞쪽 11문항은 그래프와 역함수, 뒤쪽 9문항은 빠짐없이 세는 힘을 봅니다. 6·8·10번은 유리함수·무리함수 그래프를 직접 그려 조건을 읽어야 하는 문항이고, 13·17·18번은 경우를 나눠 세는 문항입니다. 해당 문항을 틀렸다면 관련 개념의 이해, 조건 해석, 계산 과정, 시간 부족 중 어디에서 어려움이 있었는지 풀이를 보며 점검할 필요가 있습니다. 논술형은 1문항 10점으로, [1-1](4점)은 무리함수의 역함수를 정의역 조건까지 포함해 구하는 문제이고, [1-2](6점)는 함수와 그 역함수의 그래프가 만나는 점을 구하는 문제입니다. [1-2]는 감소함수라 교점을 찾는 근거를 어떻게 적었는지가 중요하니 아이의 서술 과정을 함께 확인해 주세요.
풍산고 1학년 2학기 기말은 수학(하)의 함수·유리함수·무리함수(60.3점)와 경우의 수·순열·조합(39.7점)이 범위였습니다. 함수 영역은 역함수와 합성함수가 거의 모든 문항에 들어가므로, f⁻¹을 식으로 구하는 방법과 '정의역·치역을 바꿔 적는' 습관을 먼저 잡으세요. 유리함수·무리함수는 그래프를 직접 그려야 풀리는 문항(6·8·9·10번)이 고배점이었으니 점근선·끝점·접할 때의 판별식을 한 세트로 정리해 두면 좋습니다. 경우의 수 영역은 이웃·교대·사이에 끼우기(16·17번), 증가함수(15번), 최소·최대 원소를 고정한 조합(18번)이 대표 유형이고, 도로망에 길을 추가하는 13번처럼 경로를 빠짐없이 나누는 연습이 필요합니다. 논술형은 무리함수의 역함수를 정의역까지 써야 하고, 감소함수와 그 역함수의 교점은 y=x 밖의 교점 가능성까지 검토하는 서술 틀을 연습해 두세요.
제공받은 시험지 6쪽 사진(학생 풀이가 있는 시험지)과 문항별 배점표 1쪽을 하남EDU 편집부가 직접 보고 문항 구성·배점·출제 개념·난도를 정리했습니다. 학생 이름·점수·답안과 풀이는 싣지 않습니다. 시험지에 풍산고등학교 저작권 안내가 있어 문항 원문·그림·정답은 싣지 않습니다. 공식 평균점수·정답률·학교 채점 기준은 확인되지 않았고, 난도는 시험지 구조 기준의 편집부 평가입니다. 학교의 공식 자료가 아닙니다.
원본 시험지는 공개·판매·다운로드되지 않습니다. 이 페이지는 문항 번호·핵심 개념·배점·난도만 정리한 분석정보이며 문항 전문과 시험지 이미지는 싣지 않습니다. 학교의 공식 자료가 아닙니다.
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