2024년 10월 7일 치른 남한고등학교 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ 시험은 선택형 17문항 80점과 논술형 3문항 20점으로, 미분계수와 도함수 39.6점·함수의 극한 24.3점·함수의 연속 19.1점·도함수의 활용 17점이 범위였습니다. 선택형 배점이 4.1점에서 5.5점까지 번호 순으로 올라가고, 평균값 정리의 c 개수(17번), 교점 개수 함수의 극한(16번), 함수방정식(15번), 절댓값이 붙은 곱의 미분가능성(13번)과 논술형이 변별하는 중상 난도(고득점 상)의 시험입니다.
시험일 2024.10.07 · 분석 게재 2026.10.18
시험지의 문항별 배점을 합산했습니다(단위: 점). 미분계수와 도함수 39.6 · 극한 24.3 · 연속 19.1 · 도함수의 활용 17.
선택형 17문항(80점)과 논술형 3문항(20점)을 합친 20문항 기준입니다.
시험지 6쪽, 선택형 17문항 80점 + 논술형 3문항 20점, 총 100점. 선택형 배점은 4.1(1~3번) · 4.2(4·5번) · 4.3(6번) · 4.5(7번) · 4.6(8번) · 4.7(9번) · 4.8(10번) · 4.9(11번) · 5(12번) · 5.1(13번) · 5.2(14번) · 5.3(15번) · 5.4(16번) · 5.5점(17번)으로 합이 80점입니다. 논술형은 1번 6점, 2번 7점, 3번 7점입니다. 단원별로는 미분계수와 도함수 39.6점(2·8·9·10·12·13·15번 + 논술형 1), 함수의 극한 24.3점(1·3·4·11번 + 논술형 2), 함수의 연속 19.1점(5·6·14·16번), 도함수의 활용(접선·롤의 정리·평균값 정리) 17점(7·17번 + 논술형 3)입니다.
시험지 6쪽 전체를 기준으로 본 전체 난도는 중상, 고득점 난도는 상입니다. 선택형 17문항의 배점이 1번 4.1점에서 17번 5.5점까지 번호 순으로 올라가는데, 최저 배점부터 4점대라 앞 번호도 계산 한 번으로 끝나지 않는 문항이 섞여 있습니다. 1~5번(4.1~4.2점)은 그래프에서 극한 읽기, 도함수 값으로 미지수 구하기, 극한의 대소 관계, 두 극한 조건으로 다항함수 결정, 닫힌구간에서 최댓값·최솟값으로 비교적 정의형입니다. 6~11번(4.3~4.9점)은 구간별 함수와 일차함수의 곱이 연속이 될 조건(6번), 기울기가 최소인 접선(7번), 그래프에서 미분가능성·평균변화율 판단(8번), 곱의 미분과 접선(9번), 세 극한 조건으로 다항함수를 정해 f′(0)을 구하는 10번, 치환으로 바꾸는 극한(11번)으로 조건이 둘 이상 겹칩니다. 12~17번(5~5.5점)은 그래프 보기 5개의 연속·미분가능성 판단(12번), 절댓값이 붙은 곱의 미분가능성(13번), 사잇값 정리로 실근이 존재할 정수 t(14번), 함수방정식으로 도함수 구하기(15번), 원과 직선의 교점 개수 함수의 극한과 불연속(16번), 구간별 함수의 평균값 정리에서 c가 2개일 a의 범위(17번)로 풀이가 깁니다. 논술형 3문항(20점)은 미분계수의 정의(1번, 6점), 두 극한 조건으로 상수 결정(2번, 7점), 롤의 정리(3번, 7점)입니다. 공식 평균점수·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.
| 문항 | 핵심 개념 | 성격 | 분석 난도 |
|---|---|---|---|
| 1 | 그래프에서 x→−1과 x→0⁻의 극한값의 합 (4.1점) | 극한 · 그래프 | 하 |
| 2 | f(x)=x³−ax²+3, f′(−2)=−4일 때 a (4.1점) | 미분 · 도함수 값 | 하 |
| 3 | f(x)를 끼운 부등식으로 f(x)/(x+1)의 x→−1 극한 (4.1점) | 극한 · 대소 관계 | 중하 |
| 4 | x→∞, x→2에서 f(x)/(x²+x−6)의 극한값으로 f(−12) (4.2점) | 극한 · 다항함수 결정 | 중 |
| 5 | [0,3]에서 (x−2)/(x+1)의 최댓값과 [−1,2]에서 √(x+5)의 최솟값의 곱 (4.2점) | 연속 · 최대·최소 정리 | 중하 |
| 6 | 구간별 f(x)와 g(x)=2x−a²+3의 곱이 연속인 모든 a의 곱 (4.3점) | 연속 · 곱의 연속 | 중 |
| 7 | f(x)=3x³−9x²+5의 접선 중 기울기가 최소인 접선 y=ax+b로 a+2b (4.5점) | 접선 · 기울기 최소 | 중 |
| 8 | 그래프에서 미분계수 대소·불연속점·미분불가능한 점·평균변화율 중 옳지 않은 것 (4.6점) | 미분가능성 · 그래프 판단 | 중 |
| 9 | f(x)g(x)=2x³−x²−4x+9와 극한 조건으로 y=g(x)의 x=1에서의 접선 (4.7점) | 미분 · 곱의 미분과 접선 | 중상 |
| 10 | 세 극한 조건으로 다항함수 f를 정해 f′(0) (4.8점) | 미분 · 다항함수 결정 | 중상 |
| 11 | lim f(x−3)/(x−3)=2로 (x+2f(x))/(7x²−3f(x))의 x→0 극한 (4.9점) | 극한 · 치환 | 중 |
| 12 | xf(x), x/f(x), (x−1)f(x)의 연속·미분가능성 보기 5개 중 옳은 것의 개수 (5점) | 연속·미분가능성 · 그래프 보기 | 상 |
| 13 | y=|f(x)|g(x)가 x=1에서만 미분불가능, f′(0)>0일 때 pq (5.1점) | 미분가능성 · 절댓값 | 상 |
| 14 | g(x)=x+2가 (1,4)에서 실근을 갖도록 하는 정수 t의 개수 (5.2점) | 연속 · 사잇값 정리 | 중상 |
| 15 | f(x+y)=f(x)+f(y)+2x²y+2xy²−4xy, f′(1)=6에 대한 보기 (5.3점) | 미분 · 함수방정식 | 상 |
| 16 | 원 (x−1)²+(y−2)²=5와 y=2x+k의 교점 개수 f(k)에 대한 보기 (5.4점) | 극한·연속 · 교점 개수 함수 | 상 |
| 17 | 평균값 정리를 만족하는 c가 (−2,a)에 2개인 a의 범위 p<a<q로 (p+2q)² (5.5점) | 평균값 정리 · 구간별 함수 | 상 |
| 논술 1 | f′(3)=2일 때 lim {f(3−3h)−f(3+3h)}/2h (6점) | 미분계수의 정의 서술 | 중 |
| 논술 2 | (x³−a³)/(x²−a²)의 x→a 극한과 무리식의 x→∞ 극한으로 a, b (7점) | 극한 · 상수 결정 서술 | 중상 |
| 논술 3 | f(x)=x³−(7/2)x²−6x+3이 [−a,a]에서 롤의 정리를 만족할 때 a²+3c (7점) | 롤의 정리 서술 | 중상 |
① 함수의 극한(1·3·4·11번, 논술형 2) — 그래프에서 x→−1과 x→0⁻의 극한값 합(1번), f(x)를 두 식 사이에 끼운 부등식으로 f(x)/(x+1)의 x→−1 극한(3번), x→∞와 x→2에서 f(x)/(x²+x−6)의 극한값으로 다항함수를 정해 f(−12)(4번), lim f(x−3)/(x−3)=2를 x→0의 극한으로 바꿔 (x+2f(x))/(7x²−3f(x))의 극한(11번)입니다. 논술형 2번은 lim (x³−a³)/(x²−a²)=3에서 a를, lim (√(x²+ax)−√(x²+bx))=7에서 b를 구하는 서술입니다. ② 함수의 연속(5·6·14·16번) — [0,3]에서 (x−2)/(x+1)의 최댓값과 [−1,2]에서 √(x+5)의 최솟값의 곱(5번, 최대·최소 정리), x=a를 경계로 나뉜 f(x)와 g(x)=2x−a²+3의 곱이 연속이 되는 모든 a의 곱(6번), g(1)=t−1·g(4)=2t+3일 때 g(x)=x+2가 (1,4)에서 실근을 갖는 정수 t의 개수(14번, 사잇값 정리), 원 (x−1)²+(y−2)²=5와 직선 y=2x+k의 교점 개수 f(k)에 대한 극한·불연속 보기(16번)입니다. ③ 미분계수와 도함수(2·8·9·10·12·13·15번, 논술형 1) — f(x)=x³−ax²+3에서 f′(−2)=−4로 a(2번), 그래프에서 미분계수 대소·불연속점·미분불가능한 점·평균변화율 판단(8번), f(x)g(x)=2x³−x²−4x+9와 극한 조건으로 y=g(x) 위의 점 (1,g(1))에서의 접선(9번), 세 극한 조건으로 다항함수를 정해 f′(0)(10번), 그래프의 f에 대해 xf(x)·x/f(x)·(x−1)f(x)의 연속·미분가능성 보기 다섯 개(12번), y=|f(x)|g(x)가 x=1에서만 미분가능하지 않고 f′(0)>0일 때 pq(13번), f(x+y)=f(x)+f(y)+2x²y+2xy²−4xy와 f′(1)=6에 대한 보기(15번)입니다. 논술형 1번은 f′(3)=2일 때 lim {f(3−3h)−f(3+3h)}/2h를 미분계수의 정의로 바꾸는 서술입니다. ④ 도함수의 활용(7·17번, 논술형 3) — f(x)=3x³−9x²+5의 접선 중 기울기가 최소인 접선(7번), x≤0과 x>0에서 식이 다른 이차식 f에 대해 평균값 정리를 만족하는 c가 (−2,a)에 2개일 a의 범위(17번), 논술형 3번은 삼차함수가 [−a,a]에서 롤의 정리를 만족할 때 a와 c를 구해 a²+3c를 서술합니다. 채점 기준은 공개되지 않았습니다.
5점 이상 6문항(12~17번)과 논술형 2·3번이 변별 구간입니다. 17번(5.5점)은 x=0을 경계로 이차식이 바뀌는 함수에서 평균변화율 {f(a)−f(−2)}/(a+2)를 a로 나타내고, 도함수 그래프의 두 조각과 수평선이 (−2,a) 안에서 정확히 두 번 만나는 a의 범위를 찾아야 해 그림 없이는 경우를 놓치기 쉽습니다. 16번(5.4점)은 원의 중심과 직선 사이 거리를 반지름과 비교해 교점 개수 f(k)를 k의 구간별로 정리한 뒤, 접하는 k에서 좌·우극한과 함숫값을 따로 확인해야 합니다. 15번(5.3점)은 x=y=0을 넣어 f(0)을 구하고 도함수의 정의에 함수방정식을 대입해 f′(x)를 x의 식으로 만드는 단계가 핵심입니다. 13번(5.1점)은 |f(x)|g(x)에서 g(x)=x²−4의 근에서는 미분가능하고 x=1에서만 미분불가능하도록 f(x)의 근 배치를 정해야 하고, 14번(5.2점)은 g(x)−h(x)의 양 끝값 부호가 달라지는 조건을 t의 부등식으로 바꿉니다. 12번(5점)은 그래프의 불연속점·꺾인 점에서 xf(x)와 (x−1)f(x)의 미분가능성을 좌·우미분계수로 확인해야 하는 보기 다섯 개라 시간이 걸립니다. 10번(4.8점)은 lim f(x)/x²이 0이 아닌 값으로 수렴한다는 조건에서 f가 이차함수임을 먼저 읽어야 나머지 두 조건이 풀립니다. 논술형 3번은 f(−a)=f(a)로 a를 구한 뒤 f′(c)=0의 두 근 중 구간 안에 있는 것을 골라야 하고, 논술형 2번은 무리식 극한에서 분자의 유리화를 거쳐야 b가 정해집니다.
배점이 4.1점에서 5.5점까지 번호 순으로 커지는 시험이라 1~11번(4점대)을 얼마나 지켰는지와 12~17번(5점대)에서 몇 문항을 해결했는지를 나눠 보면 현재 위치가 보입니다. 8·12번은 그래프를 보고 연속·미분가능성을 판단하는 문항이고, 13·15·17번은 조건을 식으로 바꾼 뒤 경우를 나눠야 하는 문항입니다. 해당 문항을 틀렸다면 관련 개념의 이해, 조건 해석, 계산 과정, 시간 부족 중 어디에서 어려움이 있었는지 풀이를 보며 점검할 필요가 있습니다. 논술형은 총 20점입니다. 논술형 1번은 주어진 극한을 미분계수의 정의 꼴로 바꾸는 6점 문제이고, 논술형 2번은 유리식과 무리식의 극한으로 두 상수를 정하는 7점 문제, 논술형 3번은 롤의 정리 조건으로 구간과 c를 찾는 7점 문제입니다. 따라서 미분계수 정의의 변형, 극한 계산 과정, 롤의 정리 적용 조건을 각각 근거와 함께 서술하는 연습이 필요합니다.
남한고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 극한·연속에서 미분계수, 접선, 롤의 정리·평균값 정리까지가 범위였고, 선택형 배점이 4.1점에서 5.5점까지 번호 순으로 올라갔습니다. 미분계수와 도함수가 39.6점으로 가장 크므로 미분계수의 정의 변형(논술형 1번), 곱의 미분, 함수방정식으로 도함수 구하기(15번), 절댓값이 붙은 함수의 미분가능성(13번)을 정리해 두세요. 그래프를 주고 연속·미분가능성을 판단하는 문항이 8·12번 두 개이므로 좌·우극한과 좌·우미분계수를 따로 적어 비교하는 습관이 필요합니다. 극한은 두 조건으로 다항함수를 결정하는 4·10번 유형과 치환 극한(11번), 무리식 극한(논술형 2번)이 반복됐습니다. 연속은 사잇값 정리(14번)와 교점 개수 함수(16번)가 5점대였고, 평균값 정리·롤의 정리는 17번과 논술형 3번으로 20점 가까이 차지하므로 구간 안의 c를 고르는 과정까지 서술 연습을 해 두세요.
제공받은 시험지 6쪽 사진 7장과 답지 1장(채점 표시와 학생 풀이가 있는 시험지)을 하남EDU 편집부가 직접 보고 문항 구성·배점·출제 개념·난도를 정리했습니다. 학생 이름·점수·답안과 풀이는 싣지 않습니다. 시험지에 남한고등학교 저작권 안내가 있어 문항 원문·그림·정답은 싣지 않습니다. 공식 평균점수·정답률·학교 채점 기준은 확인되지 않았고, 난도는 시험지 구조 기준의 편집부 평가입니다. 학교의 공식 자료가 아닙니다.
원본 시험지는 공개·판매·다운로드되지 않습니다. 이 페이지는 문항 번호·핵심 개념·배점·난도만 정리한 분석정보이며 문항 전문과 시험지 이미지는 싣지 않습니다. 학교의 공식 자료가 아닙니다.
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