2024 남한고등학교 1학년 수학 · 2학기 중간 시험지 분석

문항·배점 구성

시험지 6쪽, 선택형 21문항 80점 + 논술형 3문항 20점, 총 100점(정답·배점표의 선택형 만점 80점·서답형 만점 20점과 일치). 선택형 배점은 3.3(1번) · 3.4(2~4번) · 3.5(5·6번) · 3.6(7·8번) · 3.7(9·10번) · 3.8(11·12번) · 3.9(13·14번) · 4(15·16번) · 4.1(17번) · 4.2(18번) · 4.3(19번) · 4.4(20번) · 4.5점(21번)으로 번호 순으로 커집니다. 논술형은 1번 6점((1) 3점 + (2) 3점), 2번 7점, 3번 7점입니다. 단원별로는 집합 39점(1~5·10·11·18·19번 + 논술형 1), 함수 30.7점(6·9·15·16·17·20번 + 논술형 3), 명제 30.3점(7·8·12·13·14·21번 + 논술형 2)입니다.

난이도

시험지 6쪽 전체를 기준으로 본 전체 난도는 중, 고득점 난도는 중상입니다. 선택형 21문항의 배점이 1번 3.3점에서 21번 4.5점까지 번호 순으로 올라가는 구조라 번호가 곧 난도 순서표입니다. 1~6번(3.3~3.5점)은 원소와 집합의 관계, 합집합·여집합의 원소 합, 집합 연산 법칙으로 식 간단히 하기, 원소의 개수, f(2x−1)=−x+3에서 f(9)처럼 정의를 한 번 적용하면 끝나는 문항입니다. 7~14번(3.6~3.9점)은 a=b=0의 필요충분조건 보기, ~p→~q의 반례가 속하는 집합, 합성함수 h∘g∘f=g를 만족하는 h, {2,4,6}과 공통 원소가 있는 부분집합의 개수, A−B=∅ 조건으로 미지수 정하기, 역이 참이 되는 자연수 a, 역과 대우가 모두 참인 명제, 필요조건이지만 충분조건이 아닌 것의 개수로 판단이 한 단계 늘어납니다. 15~21번(4~4.5점)은 일대일대응 조건(15번), 정의역이 {a,b,3}인 두 함수가 같을 조건(16번), 일차함수의 치역이 주어진 집합에 포함될 조건(17번), 이차부등식 해집합의 합·교 조건(18번), 6으로 나눈 나머지로 분류하는 원소 개수의 최댓값(19번), 반복 합성함수의 주기(20번), 세 명제가 동시에 참이 되는 정수 a(21번)로 조건을 식으로 옮기는 단계가 둘 이상입니다. 논술형 3문항(20점)은 원소 개수의 최대·최소(1번, 6점), 산술·기하평균으로 구하는 최솟값(2번, 7점), 합성함수 값으로 세운 연립방정식(3번, 7점)입니다. 공식 평균점수·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.

문항별 핵심 개념

시험의 주요 특징

① 집합(1~5·10·11·18·19번, 논술형 1) — 5 이하의 소수 집합과 5의 양의 약수 집합 사이 기호 판단(1번), 10 이하의 소수와 8의 양의 약수의 합집합 원소 합(2번), 여집합의 원소 합(3번), B∩(B−Aᶜ)ᶜ과 같은 집합을 연산 법칙으로 고르기(4번), n(U)=40·n(Aᶜ∩Bᶜ)=8·n(B−A)=12로 n(A)(5번)는 기본형입니다. 10번은 U={1,…,6}에서 {2,4,6}∩X≠∅인 부분집합 X의 개수를 전체에서 빼서 세고, 11번은 A={1,a²}, B={−1,−3a,a+4}에서 A−B=∅이 되도록 a를 정합니다. 18번은 x²−x−12>0의 해집합 A와 x²+ax+b≤0의 해집합 B가 A∪B=R, A∩B={x|−6≤x<−3}을 만족할 때 a−b를, 19번은 416 이하의 자연수에서 서로 다른 두 수의 합이 6의 배수가 아니도록 고를 때 원소 개수의 최댓값을 6으로 나눈 나머지별로 분류해 구합니다. 논술형 1번은 n(U)=50·n(A)=34·n(B)=29일 때 (1) n(A∩B), (2) n(B−A)의 최댓값과 최솟값을 서술합니다. ② 명제(7·8·12·13·14·21번, 논술형 2) — a=b=0이기 위한 필요충분조건을 a²+b²=0, a+b√2=0, |a|+|b|=0, ab=0 중에서 고르는 7번, ~p→~q가 거짓임을 보이는 원소가 속하는 집합(8번), p:|x−3|<2와 q:a−1≤x<a+1에서 역이 참이 되는 자연수 a(12번), 역과 대우가 모두 참인 명제(13번), 부등식·절댓값·(a−b)(b−c)(c−a)=0·집합 포함 관계 다섯 쌍에서 필요조건이지만 충분조건이 아닌 것의 개수(14번), ‘어떤 x’·‘x<0인 모든 x’·‘모든 실수 x’가 섞인 세 명제를 동시에 참으로 만드는 정수 a의 개수(21번)입니다. 논술형 2번은 a>1일 때 9a+4/(a−1)의 최솟값과 그때의 a를 산술·기하평균으로 구하는 서술입니다. ③ 함수(6·9·15·16·17·20번, 논술형 3) — f(2x−1)=−x+3에서 f(9)(6번), f(x)=2x·g(x)=x+3일 때 (h∘g∘f)(x)=g(x)인 h(9번), x≥−2에서 y≥−1로의 f(x)=x²+6x+a가 일대일대응일 때 f(2)(15번), 정의역 {a,b,3}에서 x³+2x²과 9x+c가 같은 함수일 때 a+b+c(16번), 0≤x≤4에서 f(x)=ax+2−4a의 치역이 {y|−6≤y≤18}에 포함되는 정수 a의 개수(17번), A={1,2,3,4}에서 구간별로 정의된 f를 1000번 넘게 합성한 값의 합(20번, 주기 찾기)입니다. 논술형 3번은 f(x)=3x−a, g(x)=6x−b에서 (f∘g)(−1)=−8, (g∘f)(2)=28로 a−b를 구하는 서술입니다. 채점 기준은 공개되지 않았습니다.

상대적으로 변별력이 높은 문항

4점 이상 7문항과 논술형이 변별 구간입니다. 21번(4.5점)은 (가) ‘어떤 x’에 대한 명제가 참이려면 두 구간이 겹쳐야 하고, (나) ‘x<0인 모든 x’에 대한 명제가 참이려면 이차부등식의 해가 음수 구간 전체를 포함해야 하며, (다) ‘모든 실수 x’에 대한 이차부등식은 판별식 조건이라 세 조건을 각각 a의 범위로 바꾼 뒤 교집합의 정수를 세야 합니다. 19번(4.3점)은 1부터 416까지를 6으로 나눈 나머지 0~5로 분류하고, 나머지 1과 5, 2와 4는 한쪽만, 0과 3은 각각 하나씩만 고를 수 있다는 것을 정리해야 최댓값이 나옵니다. 20번(4.4점)은 f(2)부터 f를 반복 적용한 값이 몇 번마다 되풀이되는지 찾아 지수를 주기로 나눈 나머지로 바꾸는 문제입니다. 18번(4.2점)은 수직선 위에 A를 그린 뒤 A∪B=R과 A∩B 조건에서 B의 양 끝점을 읽어 내는 것이 핵심입니다. 17번(4.1점)은 f(x)=a(x−4)+2가 a에 관계없이 점 (4,2)를 지난다는 것을 보고 a의 부호에 따라 x=0일 때의 값만 범위 안에 넣으면 됩니다. 15번(4점)은 x≥−2에서 증가하는 이차함수가 일대일대응이 되려면 정의역의 끝점이 공역의 끝점으로 가야 한다는 조건 하나로 a가 정해집니다. 논술형 1번은 n(A∩B)의 최솟값을 n(A∪B)≤n(U)로, 최댓값을 n(A∩B)≤n(B)로 따로 잡아야 하고, 논술형 2번은 a−1이 양수가 되도록 식을 변형하는 첫 줄과 등호 성립 조건을 함께 써야 합니다.

학부모가 알아야 할 점

배점이 번호 순으로 커지는 시험이라 1~14번(3.3~3.9점)을 얼마나 안정적으로 지켰는지와 15번 이후 4점대 7문항에서 얼마나 버텼는지를 나눠 보면 현재 위치가 보입니다. 7·8·12·13·14번은 진리집합의 포함 관계로 명제를 판단하는 문항이고, 18·19·21번은 조건을 수직선이나 경우 나누기로 옮겨야 하는 문항입니다. 해당 문항을 틀렸다면 관련 개념의 이해, 조건 해석, 계산 과정, 시간 부족 중 어디에서 어려움이 있었는지 풀이를 보며 점검할 필요가 있습니다. 논술형은 총 20점입니다. 논술형 1번은 원소의 개수로 n(A∩B)와 n(B−A)의 최댓값·최솟값을 구하는 6점 문제이고, 논술형 2번은 산술·기하평균으로 최솟값과 등호 조건을 찾는 7점 문제, 논술형 3번은 두 합성함수의 값으로 연립방정식을 세우는 7점 문제입니다. 따라서 집합의 원소 개수 범위, 절대부등식의 등호 조건, 합성함수 계산 과정을 각각 근거와 함께 서술하는 연습이 필요합니다.

다음 시험 대비 — 이번 시험에서 중요했던 학습 포인트

남한고 1학년 2학기 중간은 수학(하)의 집합·명제·함수(합성함수까지)가 범위였고, 세 단원이 39점·30.3점·30.7점으로 고르게 나뉘었습니다. 선택형 배점이 번호 순으로 올라 1~14번(3.3~3.9점)은 정의 적용과 보기 판단, 15번 이후와 논술형은 조건을 식으로 옮기는 문항입니다. 집합은 원소 개수의 최대·최소(5번·논술형 1)와 부분집합의 개수(10번), 이차부등식 해집합의 합·교(18번)를 수직선과 벤다이어그램으로 정리하고, 19번처럼 나머지로 분류해 세는 유형도 연습해 두세요. 명제는 진리집합의 포함 관계로 필요·충분조건을 판단하는 틀(12·14번)과 ‘모든’·‘어떤’ 명제가 참이 될 조건(21번)을 구분해 두는 것이 핵심입니다. 함수는 일대일대응 조건, 서로 같은 함수, 치역 조건, 반복 합성의 주기(20번)가 출제됐으므로 기말 범위로 이어지는 역함수까지 함께 정리해 두면 좋습니다. 논술형은 원소 개수 부등식, 산술·기하평균의 등호 조건, 합성함수 값으로 세운 연립방정식을 근거와 함께 한 줄씩 적는 연습이 필요합니다.

자주 묻는 질문

2024 남한고1 2학기 중간 수학 시험은 어떻게 구성됐나?

2024년 10월 7일 시행. 선택형 21문항 80점(3.3~4.5점, 번호 순으로 증가)과 논술형 3문항 20점(6·7·7점), 총 100점입니다. 단원별로는 집합 39점, 함수 30.7점, 명제 30.3점입니다.

난이도는 어느 정도였나?

전체 난도 중, 고득점 난도 중상입니다. 1~14번은 정의 적용과 보기 판단, 15~21번과 논술형은 조건을 식으로 옮기는 문항입니다. 공식 평균·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.

풀이가 길어진 문항은?

21번(세 명제가 동시에 참인 정수 a), 19번(나머지로 분류한 원소 개수의 최댓값), 20번(반복 합성함수의 주기), 18번(이차부등식 해집합의 합·교 조건), 17번(일차함수의 치역 조건)과 논술형 1번(원소 개수의 최대·최소)입니다.

시험 구조에서 눈에 띄는 점은?

선택형 배점이 1번 3.3점부터 21번 4.5점까지 번호 순으로 올라가고, 세 단원이 30~39점으로 고르게 나뉩니다. 논술형 3문항이 집합·명제·함수에 하나씩 배정돼 단원마다 서술 문항이 있습니다.