2024 미사강변고등학교 2학년 수학Ⅱ · 2학기 중간 시험지 분석

문항·배점 구성

시험지 4쪽, 선택형 15문항 70점 + 논술형 5문항 30점, 총 100점(시험지 표지 구성과 함께 제공된 배점표로 검산했습니다). 선택형 배점은 4점(1~5번) · 4.3점(6·7번) · 4.7점(8·9번) · 5점(10·11번) · 5.5점(12~15번)이고, 논술형 1~5번은 각 6점입니다. 단원별로는 함수의 극한 43.5점(3·4·5·7·9·11·14번 + 논술형 2·3번), 미분계수와 도함수 31.2점(1·8·10·15번 + 논술형 1·5번), 함수의 연속 25.3점(2·6·12·13번 + 논술형 4번)입니다.

난이도

시험지 4쪽 전체를 기준으로 본 전체 난도는 중상, 고득점 난도는 상입니다. 선택형 15문항의 배점이 4점(1~5번)부터 5.5점(12~15번)까지 번호 순으로 올라가고, 5.5점 4문항이 22점을 차지해 뒤쪽에서 점수 차가 벌어지는 구조입니다. 1~5번(4점)은 f′(1), 연속이 되는 a, 그래프의 좌·우극한, 극한의 대소 관계, 옳지 않은 극한 고르기처럼 정의를 한 번 쓰면 끝나고, 6~9번(4.3~4.7점)은 사잇값 정리로 실근의 구간 찾기(6번), 무리식이 섞인 극한(7번), 평균변화율(8번), 두 극한 조건으로 이차함수 결정(9번)으로 한 단계가 붙습니다. 10·11번(5점)은 (x−1)²·(x−2)²으로 나눈 나머지로 삼차다항식 정하기(10번), y=|2/x−3|과 y=t의 두 교점 사이 거리의 극한(11번)입니다. 12~15번(5.5점)은 두 그래프의 합성·곱의 연속 보기(12번), (|x|−3)g(x)=f(x)를 만족하는 연속함수(13번), 교점 개수 함수의 좌·우극한 조건(14번), g(x)의 부호에 따라 나뉜 h(x)의 미분가능성(15번)으로 변별합니다. 논술형 5문항(각 6점)은 접선의 기울기로 a·b(1번), 원과 직선의 교점으로 만든 극한(2번), 극한으로 정의된 함수의 최대·최소(3번), 사잇값 정리로 정수 a의 최댓값(4번), 함수방정식으로 도함수 구하기(5번)입니다. 공식 평균점수·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.

문항별 핵심 개념

시험의 주요 특징

① 함수의 극한(3·4·5·7·9·11·14번, 논술형 2·3) — 그래프에서 x→1⁻·x→3⁺ 극한의 합(3번), 2x²−5≤(x²+2)f(x)≤2x²로 x→∞ 극한(4번), 다섯 극한식 중 옳지 않은 것(5번), lim f(x)=5일 때 (x−4)f(x)/(√x−2)의 x→4 극한(7번), x→∞와 x→3 두 극한 조건으로 두 이차함수를 정해 g(4)−f(4)(9번), 0<t<3에서 y=|2/x−3|과 y=t의 두 교점 사이 거리 f(t)로 f(t)/4t의 t→0⁺ 극한(11번), x≥0과 x<0에서 식이 다른 f(x)와 y=t의 교점 개수 g(t)가 g(4)×(좌극한)×(우극한)=2를 만족하는 정수 a·b(14번). 논술형 2번은 A(0,t)·B(−1,0)을 지나는 직선과 단위원의 교점 P, x축에 내린 수선의 발 H로 2OA×PH의 t→∞ 극한, 3번은 [1,a]에서 극한으로 정의된 f(x)가 최댓값 −2·최솟값 −5를 가질 때 a·b를 구합니다. ② 함수의 연속(2·6·12·13번, 논술형 4) — x≠0과 x=0에서 값이 다른 함수가 연속이 되는 a(2번), x³+2x²+5x−10=0의 실근이 존재하는 구간(6번, 사잇값 정리), 두 그래프에서 {f(x)}²·f(g(x))·f(x)g(x)의 연속 보기(12번), x³의 계수가 1인 삼차함수 f와 연속함수 g가 (|x|−3)g(x)=f(x), g(3)=24를 만족할 때 g(−3)(13번). 논술형 4번은 세 점 (0,2)·(1,1)·(2,a+4)를 지나는 연속함수에서 f(x)=3x가 (0,2)에서 오직 하나의 실근을 갖도록 하는 정수 a의 최댓값을 사잇값 정리로 씁니다. ③ 미분계수와 도함수(1·8·10·15번, 논술형 1·5) — f(x)=2x²−3x+1의 f′(1)(1번), x²+1의 a→a+2 평균변화율이 8인 a(8번), (x−1)²으로 나눈 나머지 3·(x−2)²으로 나눈 나머지 2x+1인 삼차다항식의 f(−1)(10번), f(x)=x·g(x)=(x−1)(x−a)로 g의 부호에 따라 정의된 h(x)가 미분가능한 a(15번). 논술형 1번은 y=x²+ax+b 위의 점 (−1,2)에서 접선의 기울기가 5일 때 a·b, 5번은 f(x+y)=f(x)+f(y)+(x·y에 대한 식)과 f′(2)=3으로 f′(x)를 구합니다. 채점 기준은 공개되지 않았습니다.

상대적으로 변별력이 높은 문항

5.5점 4문항과 논술형 2·3번이 변별 구간입니다. 14번(5.5점)은 x≥0에서 (x+a)², x<0에서 일차식인 f(x)의 그래프를 a·b에 따라 그려 y=4 근처에서 교점 개수가 어떻게 바뀌는지 따지고, 곱이 2가 되는 경우를 모두 찾아 a+b의 범위를 정해야 해 경우가 많습니다. 15번(5.5점)은 h(x)가 x·g(x)의 절댓값처럼 작동한다는 것을 보고, g(x)=0이 되는 x=1·x=a에서 좌·우 미분계수가 같아질 조건을 따져야 합니다. 13번(5.5점)은 (|x|−3)g(x)=f(x)에서 x=3과 x=−3이 f의 근이라는 것을 먼저 읽고, x≥0과 x<0에서 g(x)를 따로 세워 g(3)=24로 남은 근을 정하는 순서가 필요합니다. 12번(5.5점)은 그래프의 열린 점·닫힌 점을 읽어 합성함수 f(g(x))의 극한을 안쪽 함수의 접근 방향까지 고려해 판단해야 합니다. 11번(5점)은 y=t와의 두 교점의 x좌표를 2/(t+3)·2/(3−t) 꼴로 나타낸 뒤 거리의 극한을 구하는 계산입니다. 논술형 2번은 직선 AB와 원의 교점 P의 좌표를 t로 나타내야 하고, 논술형 3번은 t→∞ 극한으로 f(x)=−√(x+b)를 먼저 얻은 뒤 감소함수임을 근거로 최댓값·최솟값을 양 끝에 대응시켜야 합니다.

학부모가 알아야 할 점

5.5점 4문항이 22점이고 논술형이 30점이라, 앞쪽 4점대 문항을 맞힌 뒤 뒤쪽에서 얼마나 버티는지가 결과를 가릅니다. 9·11번은 극한 조건을 식으로 옮기는 과정을, 12·13번은 연속의 정의를 그래프와 식에 적용하는 과정을, 10·15번은 미분계수와 미분가능성 조건을 세우는 과정을, 14번은 그래프를 그려 교점 개수의 변화를 따지는 과정을 점검할 문항입니다. 해당 문항을 틀렸다면 관련 개념의 이해, 조건 해석, 계산 과정, 시간 부족 중 어디에서 어려움이 있었는지 풀이를 보며 점검할 필요가 있습니다. 논술형은 각 6점으로 총 30점입니다. 논술형 1번은 미분계수와 곡선 위의 점 조건으로 a·b를 구하는 문제, 2번은 원과 직선의 교점 좌표로 길이를 나타내 극한을 구하는 문제, 3번은 극한으로 정의된 함수를 구한 뒤 닫힌구간에서 최댓값·최솟값을 따지는 문제, 4번은 사잇값 정리로 실근이 하나일 조건을 세우는 문제, 5번은 함수방정식과 도함수의 정의로 f′(x)를 구하는 문제입니다. 따라서 미분계수 계산, 도형의 좌표를 t로 나타내는 과정, 극한과 최대·최소의 연결, 사잇값 정리의 조건, 도함수의 정의를 각각 근거와 함께 쓰는 연습이 필요합니다.

다음 시험 대비 — 이번 시험에서 중요했던 학습 포인트

미사강변고 2학년 수학Ⅱ 2학기 중간은 함수의 극한·연속과 미분계수·도함수가 범위였고, 함수의 극한이 43.5점으로 가장 큽니다. 극한은 그래프에서 좌·우극한 읽기(3번)부터 극한으로 다항함수 정하기(9번), 도형의 길이를 t로 나타낸 극한(11번, 논술형 2번), 극한으로 정의된 함수(논술형 3번)까지 폭이 넓으니 유형별로 정리하세요. 연속은 사잇값 정리가 6번과 논술형 4번에 두 번 나왔고, (|x|−3)g(x)=f(x) 같은 ‘곱의 꼴로 주어진 연속 조건’(13번)과 그래프로 합성·곱의 연속을 판단하는 보기(12번)가 대표 유형입니다. 미분은 나머지 조건을 f(a)·f′(a)로 바꾸는 10번 유형과, 부호에 따라 나뉜 함수의 미분가능성(15번), 함수방정식에서 도함수의 정의로 f′(x)를 구하는 논술형 5번을 함께 준비하세요. 5.5점 4문항이 22점이므로 앞쪽 4점대 문항을 빠르게 처리하고 시간을 남기는 연습이 필요합니다.

자주 묻는 질문

2024 미사강변고2 2학기 중간 수학Ⅱ 시험은 어떻게 구성됐나?

2024년 10월 8일 시행. 선택형 15문항 70점(4~5.5점, 번호 순으로 증가)과 논술형 5문항 30점(각 6점), 총 100점입니다. 단원별로는 함수의 극한 43.5점, 미분계수와 도함수 31.2점, 함수의 연속 25.3점입니다.

난이도는 어느 정도였나?

전체 난도 중상, 고득점 난도 상입니다. 1~5번은 정의를 바로 쓰는 4점 문항이고, 5.5점 4문항(12~15번)과 논술형 2·3번에서 점수 차가 납니다. 공식 평균·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.

풀이가 길어진 문항은?

14번(교점 개수 함수의 좌·우극한 조건), 15번(부호로 나뉜 함수의 미분가능성), 13번((|x|−3)g(x)=f(x)인 연속함수), 12번(그래프로 판단하는 합성·곱의 연속), 11번(두 교점 사이 거리의 극한), 논술형 2번(원과 직선의 교점으로 만든 극한)과 3번(극한으로 정의된 함수의 최대·최소)입니다.

시험 구조에서 눈에 띄는 점은?

같은 해 1학기 수학Ⅰ 중간과 같이 선택형 15문항 70점·논술형 5문항 30점 구조입니다. 사잇값 정리가 선택형 6번과 논술형 4번에 두 번 나왔고, 극한이 선택형 7문항과 논술형 2문항으로 비중이 가장 큽니다.