2024 미사강변고등학교 2학년 수학Ⅰ · 1학기 중간 시험지 분석

문항·배점 구성

시험지 4쪽, 선택형 15문항 70점 + 논술형 5문항 30점, 총 100점(시험지 표지에 같은 구성이 인쇄돼 있고 문항별 배점 합으로 검산했습니다). 선택형 배점은 3.8점(1~4번) · 4점(5·6번) · 4.5점(7·8번) · 5점(9~11번) · 5.5점(12·13번) · 5.9점(14·15번)이고, 논술형 1~5번은 각 6점입니다. 단원별로는 삼각함수 34.1점(3·4·7·8·12번 + 논술형 3·4번), 로그 32.9점(6·10·15번 + 논술형 1·2·5번), 지수함수와 로그함수 24점(1·2·11·13·14번), 지수 9점(5·9번)입니다. 지수와 로그를 합치면 41.9점입니다.

난이도

시험지 4쪽 전체를 기준으로 본 전체 난도는 중상, 고득점 난도는 상입니다. 선택형 15문항의 배점이 3.8점부터 5.9점까지 번호 순으로 올라가고 한 문항의 무게가 커서, 뒤쪽 5점대 7문항에서 점수 차가 크게 벌어지는 구조입니다. 1~6번(3.8~4점)은 지수방정식, 로그함수 그래프의 점근선, 부채꼴의 넓이, sinx+cosx로 (sinx−cosx)², 거듭제곱근 계산, 상용로그 표현처럼 공식을 한 번 쓰면 끝납니다. 7·8번(4.5점)은 동경이 일치하는 각의 조건과 탄젠트 함수의 주기·대칭·점근선 보기로 한 단계가 붙고, 9~11번(5점)은 거듭제곱근이 겹친 식의 지수 비교(9번), 근과 계수의 관계와 로그의 밑 변환(10번), y=2^|x+1|+2와 y=k의 교점 개수 함수의 합(11번)입니다. 12~15번(5.5~5.9점)은 cosθ에 대한 이차부등식(12번), 두 지수함수 그래프와 삼각형 넓이(13번), 로그함수 위의 점에서 지수함수 그래프로 이어지는 좌표 추적(14번), 36 이하 자연수 N을 4와 3의 거듭제곱으로 분해하는 상용로그 문항(15번)으로 변별합니다. 논술형 5문항(각 6점)은 밑과 진수의 조건, 2^x=3^y=a^z와 역수 조건, 삼각함수의 관계로 tanθ, 반원 위 점의 수선 길이 제곱합, 상용로그의 실생활 활용이며 30점으로 비중이 큽니다. 공식 평균점수·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.

문항별 핵심 개념

시험의 주요 특징

① 지수(5·9번) — 거듭제곱근을 지수로 바꿔 계산(5번), 1보다 큰 a에 대해 네제곱근·세제곱근이 겹친 식과 a√(a√(a^k))의 몫이 1이 되는 k(9번). ② 로그(6·10·15번, 논술형 1·2·5) — log3.16=a로 log√3160 나타내기(6번), x²−6x+3=0의 두 근이 log₅a·log₅b일 때 log_a b+log_b a(10번), log N=(α/3)log4+(β/2)log3을 만족하는 36 이하 자연수 N의 합(15번). 논술형 1번은 log_(x+6)(10−x)가 정의되는 정수 x의 개수(밑과 진수의 조건), 2번은 2^x=3^y=a^z이고 1/x+1/y=1/z일 때 양수 a, 5번은 필름 한 장을 통과할 때마다 자외선 양이 4/5가 될 때 처음의 1/1000 미만이 되는 필름 장수를 log2=0.3으로 구하는 상용로그 활용입니다. ③ 지수함수와 로그함수(1·2·11·13·14번) — 2^(x+1)=4^x(1번), 그래프에서 y=log₃(x+a)의 점근선으로 a(2번), y=2^|x+1|+2와 y=k의 교점 개수 f(k)의 합이 7인 n(11번), y=(1/2)^x·y=(1/4)^x와 y=k로 만든 삼각형 OAB의 넓이가 1/2인 k(13번), y=log_a(x+a) 위의 점 P(24,3)에서 기울기 −1인 직선과 x축에 평행한 직선이 y=a^x−a와 만나는 점 R의 x좌표(14번). ④ 삼각함수(3·4·7·8·12번, 논술형 3·4) — 중심각 2π/3·호의 길이 6π인 부채꼴의 넓이(3번), sinx+cosx=1/3일 때 (sinx−cosx)²(4번), θ°와 6θ°의 동경이 일치하는 θ의 합(7번), f(x)=tan(x/3)+2의 주기·f(−x)·점근선 보기(8번), cos²θ−3cosθ−a+7≥0이 모든 θ에서 성립하는 a의 최댓값(12번). 논술형 3번은 1/(1+sinθ)+1/(1−sinθ)=7/3이고 π<θ<3π/2일 때 tanθ, 4번은 지름 2인 반원의 호를 10등분한 점에서 지름에 내린 수선 길이의 제곱의 합을 구합니다. 채점 기준은 공개되지 않았습니다.

상대적으로 변별력이 높은 문항

5.5점 이상 4문항과 논술형 4번이 변별 구간입니다. 14번(5.9점)은 점 P(24,3)이 y=log_a(x+a) 위에 있다는 조건에서 a³=24+a로 밑 a를 먼저 정해야 하고, 그 뒤 x축에 평행한 직선이 y=a^x−a와 만나는 점 R을 지수방정식으로 풀어야 해 단계가 셋입니다. 15번(5.9점)은 log N=(α/3)log4+(β/2)log3에서 N=4^(α/3)·3^(β/2)가 자연수가 되려면 α는 3의 배수, β는 2의 배수여야 한다는 것을 보고, 36 이하가 되는 경우를 빠짐없이 세야 합니다. 13번(5.5점)은 A·B의 x좌표를 로그로 나타낸 뒤 밑변 AB와 높이 k로 넓이를 세우는 계산이고, 12번(5.5점)은 cosθ=t로 치환해 −1≤t≤1에서 이차식의 최솟값을 따지는 범위 확인이 핵심입니다. 11번(5점)은 y=2^|x+1|+2의 최솟값 3을 기준으로 k<3·k=3·k>3에서 교점 개수가 바뀌는 것을 표로 정리해야 합니다. 논술형 4번은 수선 길이를 sin(18°×i)로 나타낸 뒤 sin²θ+sin²(90°−θ)=1을 짝지어 쓰는 발상이 필요해 다섯 문항 중 가장 깁니다. 논술형 1번은 밑의 조건(x+6>0, x+6≠1)과 진수의 조건(10−x>0)을 모두 써야 개수가 맞습니다.

학부모가 알아야 할 점

선택형 5점대가 7문항, 논술형이 30점이라 앞쪽 3.8~4점 문항만 맞혀서는 점수가 크게 오르지 않는 시험입니다. 9·10·15번은 지수·로그의 성질을 식에 적용하는 과정을, 11·13·14번은 지수·로그함수의 그래프를 좌표로 옮기는 과정을, 8·12번은 삼각함수의 그래프와 치환 후 범위를 따지는 과정을 점검할 문항입니다. 해당 문항을 틀렸다면 관련 개념의 이해, 조건 해석, 계산 과정, 시간 부족 중 어디에서 어려움이 있었는지 풀이를 보며 점검할 필요가 있습니다. 논술형은 각 6점으로 총 30점입니다. 논술형 1번은 로그의 밑과 진수 조건으로 정수의 개수를 세는 문제, 2번은 2^x=3^y=a^z를 로그로 바꿔 역수 조건에 대입하는 문제, 3번은 삼각함수 사이의 관계와 각의 범위로 tanθ의 부호까지 정하는 문제, 4번은 반원 위 점의 수선 길이를 사인으로 나타내 제곱의 합을 구하는 문제, 5번은 상용로그로 실생활 상황의 최소 개수를 구하는 문제입니다. 따라서 조건 정리, 로그 변환, 삼각함수의 부호 판단, 사인값의 짝짓기, 부등식 풀이를 각각 근거와 함께 쓰는 연습이 필요합니다.

다음 시험 대비 — 이번 시험에서 중요했던 학습 포인트

미사강변고 2학년 수학Ⅰ 1학기 중간은 지수·로그·지수함수와 로그함수에 삼각함수 앞부분(호도법·삼각함수의 관계·그래프)까지가 범위였습니다. 선택형 5점대가 7문항이고 논술형이 30점이라 공식 적용만으로는 고득점이 어렵습니다. 지수와 로그는 41.9점으로, 거듭제곱근이 겹친 식을 지수로 바꾸는 계산(5·9번)과 상용로그로 정수·자연수 조건을 따지는 문항(15번, 논술형 5번)을 함께 준비하세요. 지수함수와 로그함수는 절댓값이 들어간 그래프와 y=k의 교점 개수(11번), 두 그래프 사이 선분으로 넓이 세우기(13번), 그래프 위의 점에서 밑을 먼저 정하는 문제(14번)가 대표 유형입니다. 삼각함수는 탄젠트 그래프의 주기·점근선(8번)과 cosθ 치환 후 범위 안 최솟값(12번)을 정리하고, 논술형 4번처럼 sin²θ+cos²θ=1을 여러 각에 짝지어 쓰는 문제도 연습해 두세요. 논술형 5문항은 조건(밑·진수·각의 범위)을 먼저 쓰고 계산하는 순서로 답안 틀을 잡아 두면 부분 점수를 확보하기 좋습니다.

자주 묻는 질문

2024 미사강변고2 1학기 중간 수학Ⅰ 시험은 어떻게 구성됐나?

2024년 5월 1일 시행. 선택형 15문항 70점(3.8~5.9점, 번호 순으로 증가)과 논술형 5문항 30점(각 6점), 총 100점입니다. 단원별로는 삼각함수 34.1점, 로그 32.9점, 지수함수와 로그함수 24점, 지수 9점입니다.

난이도는 어느 정도였나?

전체 난도 중상, 고득점 난도 상입니다. 5점 이상 선택형이 7문항이고 논술형이 30점이라 뒤쪽에서 점수 차가 벌어집니다. 공식 평균·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.

풀이가 길어진 문항은?

14번(로그함수 위의 점에서 지수함수 그래프로 이어지는 좌표 추적), 15번(상용로그와 자연수 조건), 13번(두 지수함수 그래프와 삼각형 넓이), 12번(cosθ에 대한 이차부등식), 11번(교점 개수 함수의 합), 논술형 4번(반원 위 점의 수선 길이 제곱합)입니다.

시험 구조에서 눈에 띄는 점은?

선택형 15문항·논술형 5문항으로 논술형 비중이 30점입니다. 논술형 다섯 문항이 밑과 진수 조건, 지수와 로그의 관계, 삼각함수의 관계, 사인값의 합, 상용로그 활용으로 단원별로 고르게 나뉘어 있습니다.