2024 미사강변고등학교 1학년 수학 · 1학기 중간 시험지 분석

문항·배점 구성

시험지 5쪽, 선택형 20문항 80점 + 논술형 3문항 20점, 총 100점(시험지 표지에 같은 구성이 인쇄돼 있고 문항별 배점 합으로 검산했습니다). 선택형 배점은 3.5 · 3.5 · 3.6 · 3.6 · 3.7 · 3.7 · 3.8 · 3.8 · 3.9 · 3.9 · 4 · 4 · 4.1 · 4.1 · 4.2 · 4.2 · 4.4 · 4.6 · 4.7 · 4.7점으로 1번부터 20번까지 커집니다. 논술형 1번은 6점, 2번은 7점((1) 근의 판별 1점 + (2) a·b·c 구하기 6점), 3번은 7점입니다. 단원별로는 이차방정식과 이차함수 32점(5·6·14·16·18·20번 + 논술형 3번), 나머지정리와 인수분해 22.1점(2·12·15·17번 + 논술형 1번), 이차방정식 18.5점(3·10·11번 + 논술형 2번), 복소수 16점(4·7·9·19번), 다항식의 연산 11.4점(1·8·13번)입니다.

난이도

시험지 5쪽 전체를 기준으로 본 전체 난도는 중, 고득점 난도는 중상입니다. 선택형 20문항의 배점이 1번 3.5점부터 19·20번 4.7점까지 번호 순으로 올라가는 구조라 번호가 곧 난도 순서표입니다. 1~10번(3.5~3.9점)은 곱셈 공식 고르기, 인수정리로 a 구하기, 두 근으로 이차방정식 만들기, 복소수 나눗셈, 이차함수의 최솟값, 판별식으로 k의 범위, 음수의 제곱근 계산, 직육면체의 대각선과 모서리 합으로 ab+bc+ca, 켤레복소수가 들어간 등식, 근과 계수의 관계로 식의 값 구하기처럼 공식을 한 번 적용하면 끝나는 문항입니다. 11~16번(4~4.2점)은 한 근이 다른 근의 2배인 조건(11번), 6×13³−18×13²+18×13−6을 인수분해 공식으로 묶어 약수 판정(12번), x³+1=(x+1)P(x)로 P(x)를 구한 뒤 다시 나눗셈(13번), 축이 범위 밖에 있는 이차함수의 최대·최소(14번), x⁶−1의 인수(15번), k에 관계없이 지나는 점이 꼭짓점이 되는 조건(16번)으로 한 단계가 더 붙습니다. 17~20번(4.4~4.7점)은 두 나머지 조건으로 삼차다항식 정하기(17번), 이차함수와 직선의 두 교점 조건(18번), z/z̄=i인 복소수에 대한 보기(19번), (1,1)을 지나는 이차함수에 대한 보기(20번)로 변별합니다. 논술형 3문항(6·7·7점)은 나머지정리(1번), 이차방정식의 두 근을 조건식에 대입해 a·b·c 구하기(2번), 조건으로 이차함수를 정하고 직선과 만나는 k의 범위 구하기(3번)입니다. 공식 평균점수·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.

문항별 핵심 개념

시험의 주요 특징

① 다항식의 연산(1·8·13번) — 곱셈 공식 중 옳은 것 고르기(1번), 대각선 5√2·모든 모서리 길이의 합 48인 직육면체에서 (a+b+c)²의 전개로 ab+bc+ca(8번), x³+1=(x+1)P(x)로 정해지는 P(x)에 대해 x³−4x²+15를 P(x)−4로 나눈 나머지(13번). ② 나머지정리와 인수분해(2·12·15·17번, 논술형 1) — x−1로 나누어떨어질 때 인수정리로 a(2번), 6×13³−18×13²+18×13−6을 (a−b)³ 꼴로 묶어 양의 약수가 아닌 것 고르기(12번), x⁶−1의 인수가 아닌 것(15번), x³의 계수가 1인 삼차다항식을 (x+1)²으로 나눈 나머지 −x+1과 x−2로 나눈 나머지 8로 x+2로 나눈 나머지 구하기(17번). 논술형 1번은 A(x)+B(x)·A(x)B(x)를 x²−4로 나눈 나머지가 주어질 때 {A(x)}²+{B(x)}²를 x²−4로 나눈 나머지를 과정과 함께 씁니다. ③ 복소수(4·7·9·19번) — (5−i)/(1+i)=a+bi에서 a²+b²(4번), 음수의 제곱근의 곱과 나눗셈으로 a+b(7번), (1+i)z̄+3iz=−3+2i를 만족하는 z(9번), z/z̄=i인 z=a+bi에 대해 z+z̄·z³−(z̄)³·z²⁰²⁴+(z̄)²⁰²⁴에 관한 보기(19번). ④ 이차방정식(3·10·11번, 논술형 2) — −5와 2를 근으로 하는 이차방정식(3번), x²−2x+4=0의 두 근으로 α³+β³−3α²β−3αβ²(10번), 한 근이 다른 근의 2배일 때 음수 k(11번). 논술형 2번은 x²−2x−2=0의 두 근 α·β가 세 제곱의 합이 0인 조건식을 만족할 때 (1) 근의 판별, (2) 실수 a·b·c를 구하는 과정을 씁니다. ⑤ 이차방정식과 이차함수(5·6·14·16·18·20번, 논술형 3) — y=x²−6x+4의 최솟값(5번), 그래프가 x축과 만나지 않는 k의 범위(6번), 0≤x≤1에서 f(x)=ax²−4ax+b(a<0)의 최댓값 20·최솟값 8로 b−a(14번), k에 관계없이 지나는 점 P가 꼭짓점일 때 k(16번), f(x)가 x=1에서 최댓값 10, 직선 g(x)와 두 교점의 x좌표가 −3·2, g(2)=7일 때 f(3)−g(3)(18번), (1,1)을 지나는 이차함수에 대한 세 보기(20번). 논술형 3번은 f(−2)=0, 모든 x에서 f(x)≤f(2), −5≤x≤−3에서 최댓값 −18인 이차함수와 직선 y=4x+k가 만나는 k의 범위를 씁니다. 채점 기준은 공개되지 않았습니다.

상대적으로 변별력이 높은 문항

4.4점 이상 4문항과 논술형 3문항이 변별 구간입니다. 19번(4.7점)은 z/z̄=i를 a·b의 관계로 바꾸면 a=b 또는 a=−b 중 어느 쪽인지를 먼저 정해야 하고, 그 뒤 z²이 순허수가 된다는 점을 이용해 z³−(z̄)³과 2024제곱의 합을 각각 판단해야 해 보기 세 개가 모두 다른 계산입니다. 20번(4.7점)은 a+b+c=1이라는 한 조건만으로 ㄱ(x축에 접할 때 b의 부호), ㄴ(f(0)=f(6)이면 축이 x=3이고 c<0이면 볼록한 방향이 정해지는지), ㄷ(직선 y=bx−b−2와의 판별식이 a의 범위에서 양수인지)를 따로 확인해야 합니다. 18번(4.6점)은 f(x)−g(x)=a(x+3)(x−2)와 f(x)=a(x−1)²+10 두 표현을 함께 세워 g(2)=7로 a를 정하는 발상이 핵심입니다. 17번(4.4점)은 f(x)=(x+1)²(x+k)−x+1로 놓고 x−2로 나눈 나머지 조건을 대입하는 구조를 세워야 시작됩니다. 논술형 2번 (2)는 세 제곱의 합이 0이면 각각이 0이라는 것에서 출발해, 두 식을 빼고 α≠β로 나누어 a·b의 관계를 얻는 과정까지 써야 하므로 가장 깁니다. 논술형 3번은 (나)에서 축이 x=2이고 위로 볼록하다는 것, (다)에서 −5≤x≤−3이 축의 왼쪽이라 x=−3에서 최댓값을 갖는다는 것을 각각 근거로 써야 이차함수가 정해지고, 마지막에 직선과의 판별식으로 k의 범위를 냅니다.

학부모가 알아야 할 점

번호가 곧 난도인 시험이라 앞쪽 3점대 10문항을 실수 없이 지키는 것과, 17~20번·논술형에서 몇 점을 가져오는지가 결과를 가릅니다. 12·13·15번은 인수분해 공식과 다항식의 나눗셈을, 14·16·18번은 이차함수의 축과 꼭짓점을 식으로 옮기는 과정을, 19·20번은 보기 하나하나를 따로 판단하는 과정을 점검할 문항입니다. 해당 문항을 틀렸다면 관련 개념의 이해, 조건 해석, 계산 과정, 시간 부족 중 어디에서 어려움이 있었는지 풀이를 보며 점검할 필요가 있습니다. 논술형은 총 20점입니다. 논술형 1번은 두 다항식의 합과 곱의 나머지로 제곱의 합의 나머지를 구하는 6점 문제, 2번은 이차방정식의 근을 판별하고(1점) 두 근이 만족하는 조건식으로 a·b·c를 구하는(6점) 문제, 3번은 세 조건으로 이차함수를 정한 뒤 직선과 만나는 k의 범위를 구하는 7점 문제입니다. 따라서 나머지정리의 식 변형, 근과 계수의 관계를 이용한 연립, 축과 범위에 따른 최대·최소와 판별식을 각각 근거와 함께 쓰는 연습이 필요합니다.

다음 시험 대비 — 이번 시험에서 중요했던 학습 포인트

미사강변고 1학년 1학기 중간은 수학(상)의 다항식부터 이차방정식과 이차함수까지가 범위였고, 배점이 번호 순으로 올라가 1~10번은 공식 적용, 11~16번은 한 단계 응용, 17~20번은 조건 해석과 보기 판단을 봅니다. 이차방정식과 이차함수가 32점으로 가장 크므로 축과 범위의 위치에 따른 최대·최소(14번, 논술형 3번), 두 교점의 x좌표가 주어진 이차함수와 직선(18번), 판별식으로 만나는 조건 세우기(6번, 논술형 3번)를 반드시 정리하세요. 나머지정리는 (x+1)²으로 나눈 나머지를 이용해 다항식을 놓는 17번 유형과, A+B·AB의 나머지로 A²+B²의 나머지를 구하는 논술형 1번 유형이 대표적입니다. 복소수는 켤레복소수가 들어간 등식(9번)과 z/z̄ 조건의 보기(19번)처럼 a+bi로 놓고 실수부·허수부를 비교하는 연습이 필요합니다. 논술형은 20점으로 비중이 크므로 근과 계수의 관계·판별식·최대·최소의 근거를 한 줄씩 적는 연습을 해 두세요.

자주 묻는 질문

2024 미사강변고1 1학기 중간 수학 시험은 어떻게 구성됐나?

2024년 5월 1일 시행. 선택형 20문항 80점(3.5~4.7점, 번호 순으로 증가)과 논술형 3문항 20점(6·7·7점), 총 100점입니다. 단원별로는 이차방정식과 이차함수 32점, 나머지정리와 인수분해 22.1점, 이차방정식 18.5점, 복소수 16점, 다항식의 연산 11.4점입니다.

난이도는 어느 정도였나?

전체 난도 중, 고득점 난도 중상입니다. 1~10번은 공식을 한 번 적용하는 문항이고, 17~20번과 논술형 2·3번에서 변별이 납니다. 공식 평균·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.

풀이가 길어진 문항은?

19번(z/z̄=i인 복소수 보기), 20번((1,1)을 지나는 이차함수 보기), 18번(이차함수와 직선의 두 교점 조건), 17번(두 나머지 조건으로 삼차다항식 결정), 논술형 2번(두 근이 만족하는 조건식으로 a·b·c)과 논술형 3번(이차함수 결정 후 직선과 만나는 k의 범위)입니다.

시험 구조에서 눈에 띄는 점은?

선택형 배점이 1번 3.5점부터 20번 4.7점까지 번호 순으로 올라가고, 논술형이 3문항 20점으로 비중이 큽니다. 논술형 3문항이 나머지정리·이차방정식·이차함수로 단원별 하나씩 배치됐습니다.