2024 미사고등학교 2학년 확률과 통계 · 2학기 중간 시험지 분석

문항·배점 구성

자료 기준 24문항(선택형 22문항 + 논술형 2문항). 자료에 문항별 배점이 없어 배점 구조와 총점 구성은 확인되지 않았습니다. 단원별 문항 수는 이산확률변수와 확률분포 9문항(1~5·7·10·19번·논술형 23번), 정규분포 7문항(8·11·12·14·18·21·22번), 이항분포 5문항(6·9·13·16·17번), 이항분포와 정규분포의 관계 2문항(20번·논술형 24번), 연속확률변수 1문항(15번)입니다.

난이도

자료에 실린 24문항 전체를 기준으로 본 전체 난도는 중, 고득점 난도는 중상입니다. 1~5번은 확률의 합이 1이라는 조건으로 상수 구하기(1번), 이산확률변수 고르기(2번), 막대그래프에서 부등호 포함 여부 구분(3번), 확률질량함수로 평균(4번)처럼 정의를 바로 쓰는 문항이고, 6~15번은 E(aX+b)·V(aX+b)와 이항분포(6·13번), 표준정규분포의 대칭(8번), 부분집합의 원소 개수를 이항분포로 보기(9번), 그래프로 표준편차 비교(10번), 표준점수(11번), 구간 길이가 일정한 확률의 최대(12번), 정규분포표로 인원 추정(14번), 삼각형 모양의 확률밀도함수(15번)로 한 단계 더 깁니다. 변별은 동전 시행에 따른 점의 좌표를 이항분포의 일차식으로 바꾸는 16번, 24P(X=n)=P(X=n−1)로 n·p를 정하는 17번, 이항확률의 합을 정규분포로 근사하는 20번, σ가 최소가 되는 m을 찾은 뒤 두 정규분포를 비교하는 21번, 정규분포로 불량률을 구해 다시 이항확률로 잇는 22번에서 납니다. 논술형은 E(2X+1)·V(2X+1)로 E(X²)를 구하는 23번과 이항분포를 정규분포로 근사하는 24번입니다. 자료에 배점이 없어 배점 기준 난도는 확인되지 않았고, 공식 평균점수·정답률·채점 기준도 확인되지 않았습니다.

문항별 핵심 개념

시험의 주요 특징

① 이산확률변수와 확률분포(1~5·7·10·19번, 논술형 23) — 표에서 상수 a와 P(0≤X≤1)(1번), 이산확률변수인 것 고르기(2번), 막대그래프에서 P(0≤X≤2)와 P(0<X<2)(3번), P(X=x)=x/10의 평균(4번), k/{x(x+1)} 꼴 확률질량함수에서 P(X=5)(5번, 부분분수로 합 정리), a²=b/5와 E(X)=38로 상수 k(7번), 세 막대그래프의 표준편차 순서(10번), 주사위 두 번의 눈의 합 분포의 대칭으로 자연수 n(19번). 논술형 23번은 E(2X+1)=5·V(2X+1)=4에서 E(X)·V(X)를 거쳐 E(X²)를 구하는 과정을 씁니다. ② 이항분포(6·9·13·16·17번) — B(250,p)에서 E(½X+3)=53으로 V(½X+10)(6번), {1,…,5}의 부분집합을 임의로 택할 때 원소 개수의 평균과 분산의 합(9번), B(80,p)의 표준편차 8√5/5로 p(13번), 두 동전이 모두 앞면이면 +3·아니면 −1 이동을 20번 반복한 점의 좌표 X의 분산(16번), V(X)=24/25와 24P(X=n)=P(X=n−1)로 E(X)(17번). ③ 연속확률변수(15번) — 꼭짓점이 (2,k)인 삼각형 모양 확률밀도함수에서 P(1≤X≤3). ④ 정규분포(8·11·12·14·18·21·22번) — P(−1≤Z≤1)=a·P(−2≤Z≤1)=b로 P(−2≤Z≤2)를 a·b로 나타내기(8번), T=20(X−m)/σ+100 꼴 표준점수가 같은 두 학생(11번), N(10,3²)에서 P(a−3≤X≤a+1)이 최대인 a(12번), 1000만 명 중 소비 금액 1600달러 이상인 인원(14번), 1000명 중 50명 합격의 최저 점수(18번), N(m,1²)과 N(m²+3m+4,σ²)에서 σ가 최소가 되는 m을 찾은 뒤 P(X≥1)=P(Y≤k)(21번), 불량률을 정규분포로 구해 5개 중 2개가 불량일 확률(22번). ⑤ 이항분포와 정규분포의 관계(20번, 논술형 24) — ₄₀₀C₃₅₄(9/10)³⁵⁴(1/10)⁴⁶부터 ₄₀₀C₃₆₆까지의 합을 정규분포표로(20번), 논술형 24번은 성인 1200명 중 무제한 요금제 사용자(25%)가 270명 이상일 확률을 정규분포로 근사하는 과정을 씁니다. 채점 기준은 공개되지 않았습니다.

상대적으로 변별력이 높은 문항

21번이 가장 깁니다. P(X≤0)=P(Y≤0)을 표준화하면 m/1=(m²+3m+4)/σ, 곧 σ=m+3+4/m이 되고, 산술평균과 기하평균의 관계로 σ가 최소인 m을 정한 뒤에야 P(X≥1)=P(Y≤k)를 다시 표준화해 k를 구할 수 있어 수학(하)의 절대부등식까지 끌어옵니다. 16번은 두 동전이 모두 앞면인 횟수를 Y라 두면 점의 좌표가 3Y−(20−Y)=4Y−20이 된다는 것을 세워야 V(X)=16V(Y)로 이어지고, 17번은 이항확률 두 개의 비를 정리해 n과 p의 관계식을 얻은 뒤 분산 조건과 연립해야 합니다. 20번은 주어진 합이 B(400, 9/10)에서 X가 354부터 366까지일 확률이라는 것을 먼저 알아보고, 평균 360·표준편차 6으로 표준화해야 합니다. 22번은 정규분포로 불량률을 구하는 단계(54mm 미만 또는 64mm 초과)와 그 불량률로 5개 중 2개가 불량일 이항확률을 세우는 단계를 이어야 합니다. 5번은 k/{x(x+1)}을 부분분수로 나눠 확률의 합을 망원급수처럼 정리해야 하고, 19번은 눈의 합 분포가 7에 대해 대칭이라는 점을 써야 식 하나로 끝납니다.

학부모가 알아야 할 점

확률분포 단원 하나로 24문항을 낸 시험이라 공식을 아는 것보다 ‘상황을 어떤 분포로 볼 것인가’를 정하는 단계가 점수를 가릅니다. 16·17번은 시행을 이항분포로 바꾸고 식을 세우는 문항, 20·22번은 이항분포와 정규분포를 오가는 문항, 21번은 표준화한 식에 산술·기하평균을 써야 하는 문항입니다. 해당 문항을 틀렸다면 관련 개념의 이해, 조건 해석, 계산 과정, 시간 부족 중 어디에서 어려움이 있었는지 풀이를 보며 점검할 필요가 있습니다. 논술형은 두 문항의 성격이 다릅니다. 23번은 E(2X+1)·V(2X+1)에서 X의 평균과 분산을 되찾아 E(X²)로 잇는 이산확률변수의 성질 문제이고, 24번은 1200명 중 270명 이상일 확률을 이항분포에서 정규분포로 근사해 표준화하는 문제이므로, 각각 식 변형의 근거와 근사 과정을 순서대로 적어 보는 연습이 필요합니다.

다음 시험 대비 — 이번 시험에서 중요했던 학습 포인트

미사고 확률과 통계 2학기 중간은 확률분포 단원 전체(이산확률변수 → 이항분포 → 연속확률변수 → 정규분포 → 이항분포의 정규근사)를 고르게 다뤘습니다. 이산확률변수는 표·그래프·확률질량함수 세 형태로 주어지므로 ‘확률의 합 1 → 평균 → 분산’ 순서를 자동으로 꺼낼 수 있어야 하고, E(aX+b)·V(aX+b)는 선택형과 논술형(23번)에 모두 나왔습니다. 이항분포는 시행을 이항분포로 바꾸는 장면(9번 부분집합, 16번 점의 이동)이 변별 포인트입니다. 정규분포는 표준화 후 대칭으로 확률을 옮기는 계산, 인원·최저 점수 추정, 표준점수가 반복되고, 21번처럼 표준화 식에 다른 단원(산술·기하평균)이 결합되는 문항도 대비해야 합니다. 이항분포의 정규근사는 시그마 합 형태(20번)와 논술형(24번) 두 가지로 나왔으므로 평균 np·분산 npq를 구해 표준화하는 과정을 한 줄씩 적는 연습을 해 두세요.

자주 묻는 질문

2024 미사고2 2학기 중간 확률과 통계 시험은 어떻게 구성됐나?

자료 기준 선택형 22문항과 논술형 2문항, 모두 24문항입니다. 범위는 확률분포 단원 전체로, 이산확률변수 9문항·정규분포 7문항·이항분포 5문항·이항분포의 정규근사 2문항·연속확률변수 1문항입니다. 배점과 시행일은 자료에 없어 확인되지 않았습니다.

난이도는 어느 정도였나?

전체 난도 중, 고득점 난도 중상입니다. 1~15번은 정의와 공식을 바로 쓰는 문항이 대부분이고, 16번 이후에 분포를 바꾸거나 두 분포를 오가는 문항이 몰려 있습니다. 공식 평균·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.

풀이가 길어진 문항은?

21번(σ가 최소인 m을 찾은 뒤 두 정규분포 비교), 16번(점의 이동을 이항분포의 일차식으로), 17번(이항확률의 비로 n·p), 20번(이항확률의 합을 정규분포로 근사), 22번(정규분포로 불량률을 구해 이항확률로)입니다.

시험 구조에서 눈에 띄는 점은?

이항분포와 정규분포를 잇는 문항이 선택형(20·22번)과 논술형(24번)에 모두 나왔고, E(aX+b)·V(aX+b)도 선택형(6번)과 논술형(23번)에 반복됐습니다. 21번은 표준화 식에 산술·기하평균의 관계를 결합한 융합형입니다.