2024학년도 2학기 중간에 치른 미사고등학교 2학년 수학Ⅱ 시험은 선택형 20문항 90점과 서술형 2문항 10점으로, 도함수의 활용 31.9점·함수의 극한 31.2점·함수의 연속 18.9점·미분계수와 도함수 18점이 범위였습니다. 선택형 배점이 3.9점부터 5.3점까지 번호순으로 오르고 3점대가 2문항뿐이며, 최대·최소 정리의 역 이용(17번), 구간마다 축소한 삼차함수의 극댓값 수열(19번), 포물선에 접하는 원의 극한(20번), 교점 개수 함수(14번)와 서술형 절댓값 삼차함수(22번)가 변별하는 상 난도의 시험입니다.
분석 게재 2026.10.12
자료의 문항별 배점을 합산했습니다(단위: 점). 도함수의 활용 31.9 · 극한 31.2 · 연속 18.9 · 미분계수와 도함수 18.
선택형 배점이 0.1점 단위로 달라 구간으로 묶었습니다. 선택형 20문항(90점) + 서술형 2문항(10점) = 22문항 기준.
선택형 20문항 90점 + 서술형 2문항 10점, 총점 100점. 선택형 배점은 3.9점(2문항)·4.1점(2)·4.3점(3)·4.4점(3)·4.5점(3)·4.7점(2)·4.8점(2)·4.9점(1)·5.2점(1)·5.3점(1)으로 번호순 상승이며, 서술형 21·22번은 각 5점입니다. 단원별로는 도함수의 활용(접선·평균값 정리·극대극소·최대최소) 31.9점(1·4·10·12·16·19·22번), 함수의 극한 31.2점(2·3·5·9·13·15·20번), 함수의 연속 18.9점(8·14·17·21번), 미분계수와 도함수 18점(6·7·11·18번)입니다.
자료에 실린 22문항 전체를 기준으로 본 전체 난도는 상, 고득점 난도도 상입니다. 선택형 20문항 가운데 3점대는 1·2번(각 3.9점)뿐이고 18문항이 4.1점 이상이며, 19번 5.2점·20번 5.3점까지 올라갑니다. 범위도 극한·연속·미분계수에 접선·평균값 정리·증가감소·극대극소·최대최소까지 도함수의 활용 전체가 들어와 다른 학교의 같은 시기 시험보다 넓습니다. 1~7번(3.9~4.3점)도 평균값 정리의 c, 극한의 대소 관계, 접선에 수직인 접선의 존재, 그래프의 좌·우극한 차, 함수방정식 꼴의 미분계수처럼 정의를 바로 쓰기보다 한 번 변형해야 하고, 8~13번(4.4~4.5점)은 사잇값 정리로 교점 구간, 도함수 그래프로 극댓값, 나머지정리와 미분, 원뿔에 내접하는 원기둥 부피의 최댓값, 유리식 극한 존재 조건입니다. 14~20번(4.7~5.3점)은 원과 직선의 교점 개수 함수(14번), 곱의 좌·우극한(15번), 대칭 사차함수의 극솟값(16번), 최대·최소가 존재할 구간 조건(17번), 조각 함수의 미분가능과 극한(18번), 삼차함수를 구간마다 평행이동·축소한 g의 극댓값 수열(19번), 포물선과 원의 극한(20번)으로 전부 종합형입니다. 서술형 2문항(각 5점)은 주기 조건의 연속함수(21번)와 절댓값 삼차함수의 극솟값(22번)입니다. 공식 평균점수·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.
| 문항 | 핵심 개념 | 성격 | 분석 난도 |
|---|---|---|---|
| 1 | f=−x²+2x에서 f(1)−f(−3)=4f′(c)인 c (3.9점) | 도함수 활용 · 평균값 정리 | 하 |
| 2 | |f(x)−x|<2로 {f(x)}²/(2x²+x+1)의 극한 (3.9점) | 극한 · 대소 관계 | 중 |
| 3 | 2/(x−1)·(x−3/(x+2))의 x→1 극한 k (4.1점) | 극한 · 계산 | 하 |
| 4 | 원점 접선에 수직이고 곡선에 접하는 직선이 존재할 자연수 a의 최솟값 (4.1점) | 접선 · 존재 조건 | 중 |
| 5 | 그래프에서 좌극한−우극한 g(a)의 최솟값 (4.3점) | 극한 · 그래프 | 중 |
| 6 | {f(h)f(x+h)−f(h)f(x)}/h² 극한이 6x²−3x, f(0)=0·f′(0)=3으로 f′(3) (4.3점) | 미분 · 정의 | 중 |
| 7 | 그래프 위 두 점의 접선 기울기·평균변화율 보기 판단 (4.3점) | 미분 · 기울기 보기 | 중 |
| 8 | y=−2x+1과 y=x³+3x+3의 교점 x좌표가 속한 구간 (4.4점) | 연속 · 사잇값 | 중 |
| 9 | f/(2x²+1)→3/2, (3x²−12)/f→4/5로 f(3) (4.4점) | 극한 · 다항함수 결정 | 중 |
| 10 | f′ 그래프(1·2에서 0)와 극댓값 4로 a−b−c (4.4점) | 극대극소 · 도함수 그래프 | 중 |
| 11 | 3x³+ax²+bx+1을 (x−2)²으로 나눈 나머지 2x−3, a+2b (4.5점) | 미분 · 나머지정리 | 중 |
| 12 | 반지름 3·높이 6 원뿔에 내접하는 원기둥 부피의 최댓값 (4.5점) | 최대최소 · 입체 | 중 |
| 13 | 조각 f와 이차 g의 g/f 극한이 x→−1에서 존재, g(−3) (4.5점) | 극한 · 존재 조건 | 중 |
| 14 | 원과 P(4,−2)를 지나는 기울기 t 직선의 교점 개수 f(t), (t²+at+b)f(t) 연속으로 2a+b (4.7점) | 연속 · 교점 개수 함수 | 상 |
| 15 | |x|≥1에서 x, |x|<1에서 −x인 f로 f(x)f(x−k)의 좌·우극한이 같은 k의 개수 (4.7점) | 극한 · 곱의 좌우극한 | 중상 |
| 16 | f(x)=f(−x)이고 극한 조건 42인 사차함수의 극솟값 (4.8점) | 극대극소 · 대칭 사차함수 | 상 |
| 17 | 세 구간 함수가 [a−1,a+1]에서 최대·최소를 갖는 정수 a가 9개일 자연수 k의 개수 (4.8점) | 연속 · 최대최소 존재 | 상 |
| 18 | 세 구간 f가 미분가능, {fg+f−g+9}/(x+1) 극한 k로 a+b+c+k (4.9점) | 미분가능성 · 조각 | 중상 |
| 19 | 삼차함수를 12 간격마다 /(p+2)로 축소한 g의 극댓값 수열 역수 합 (5.2점) | 극대극소 · 구간별 축소 | 상 |
| 20 | y=x²에 두 점에서 접하는 원, QB=QP인 Q로 l/S의 극한 k (5.3점) | 극한 · 포물선과 원 | 상 |
| 서술 21 | [−2,4]에서 조각으로 정의된 연속함수, f(x+6)=f(x)로 f(2024) (5점) | 연속 · 주기 서술 | 중 |
| 서술 22 | |f(x)|가 x=k에서만 미분불가인 삼차 f, g=(x−k)f의 극솟값 −16인 k (5점) | 극대극소 · 절댓값 서술 | 상 |
① 함수의 극한(2·3·5·9·13·15·20번) — |f(x)−x|<2로 {f(x)}²/(2x²+x+1)의 극한(2번), 2/(x−1)·(x−3/(x+2)) 극한 k(3번), 그래프에서 좌극한−우극한 g(a)의 최솟값(5번), f(x)/(2x²+1)→3/2과 (3x²−12)/f(x)→4/5로 f(3)(9번), 조각 함수 f와 이차함수 g의 g/f 극한 존재로 g(−3)(13번), f(x)f(x−k)의 x→1 좌·우극한이 같은 k의 개수(15번), y=x²에 두 점에서 접하는 원의 반지름이 커질 때 QR 길이와 삼각형 넓이의 비 l/S의 극한(20번). ② 함수의 연속(8·14·17·21번) — 직선과 삼차곡선이 한 점에서 만나는 x좌표가 속한 구간(8번, 사잇값), 원과 점 P를 지나는 기울기 t인 직선의 교점 개수 f(t)에 (t²+at+b)를 곱해 연속(14번), 세 구간 함수가 [a−1,a+1]에서 최댓값·최솟값을 모두 갖는 정수 a가 9개일 조건으로 k의 개수(17번), 서술형 21번은 [−2,4]에서 조각으로 정의된 연속함수가 f(x+6)=f(x)를 만족할 때 f(2024). ③ 미분계수와 도함수(6·7·11·18번) — {f(h)f(x+h)−f(h)f(x)}/h²의 극한이 6x²−3x일 때 f′(3)(6번), 그래프 위 두 점의 접선 기울기와 평균변화율 보기(7번), 3x³+ax²+bx+1을 (x−2)²으로 나눈 나머지가 2x−3일 때 a+2b(11번, 미분으로 중근 처리), 세 구간 함수 f가 미분가능하고 {f g+f−g+9}/(x+1)의 극한이 k일 때 a+b+c+k(18번). ④ 도함수의 활용(1·4·10·12·16·19·22번) — f(1)−f(−3)=4f′(c)의 c(1번, 평균값 정리), 원점에서의 접선에 수직이면서 곡선에 접하는 직선이 존재할 자연수 a의 최솟값(4번), 도함수 그래프와 극댓값 4로 a−b−c(10번), 반지름 3·높이 6 원뿔에 내접하는 원기둥 부피의 최댓값(12번), f(x)=f(−x)인 사차함수의 극한 조건으로 극솟값(16번), 삼차함수 f(x)=(√3/6)x³−6√3x를 12p−6≤x<12p+6마다 평행이동·축소한 g의 극댓값을 큰 순서로 늘어놓은 수열의 역수 합(19번), 서술형 22번은 최고차항 계수 −1인 삼차함수 f와 |f(x)|가 x=k에서만 미분불가일 때 g=(x−k)f의 극솟값이 −16이 되는 k. 채점 기준은 공개되지 않았습니다.
4.7점 이상 7문항이 변별 구간이고, 그중 17·19·20번이 가장 깁니다. 17번(4.8점)은 f가 x>2에서 2x−3, −3≤x≤2에서 −x²+k, x<−3에서 1/(−x−3)으로 끊겨 있어 [a−1,a+1]이 불연속점을 포함하면 최댓값·최솟값 중 하나가 없어질 수 있다는 것을 k에 따라 나눠 세야 하므로, ‘닫힌구간에서 연속이면 최대·최소가 존재한다’를 역으로 쓰는 문제입니다. 19번(5.2점)은 g가 12 간격으로 같은 모양을 p+2로 나눠 축소한 함수이므로 극댓값이 p마다 f의 극댓값/(p+2)가 되고, 6≤x<90 범위에서 p가 1부터 7까지라는 것을 세어 역수 합을 구하는 문제라 구조를 파악하는 데 시간이 듭니다. 20번(5.3점)은 y축 위의 점 P(0,p)를 중심으로 y=x²에 두 점에서 접하는 원의 접점 A·B와 QB=QP인 점 Q를 p로 쓰고, l=2·(Q의 x좌표), S=△PAB를 p로 나타낸 뒤 p→∞ 극한을 취해야 해 접선·원·극한이 한 문항에 들어 있습니다. 14번(4.7점)은 점 (4,−2)를 지나는 직선이 원 (x−1)²+(y+1)²=5에 접하는 기울기 t에서 f(t)가 불연속이므로, (t²+at+b)가 그 두 t에서 0이 되어야 한다는 발상이 핵심이고, 16번(4.8점)은 f(x)=f(−x)로 짝수 차수만 남긴 뒤 극한 조건 42로 계수를 결정합니다. 서술형 22번은 |f(x)|가 한 점에서만 미분불가라는 조건에서 f(x)=0이 x=k에서 홀수 중근이 아닌 단근, 나머지는 중근이라는 것을 읽어내야 시작됩니다.
3점대 문항이 2개뿐인 시험이라 ‘기본은 되는데 점수가 안 나온다’는 말이 나오기 쉽습니다. 범위가 극대·극소와 최대·최소까지 넓어 2학기 중간치고는 양이 많으므로, 틀린 문항이 극한(2·5·9·13·15번)에 몰렸는지 도함수의 활용(4·10·12·16·19번)에 몰렸는지로 약한 단원을 먼저 가려 주세요. 17·19·20번은 구조를 파악해야 하는 문제라, 아이가 시간을 정해 두고 넘겼는지도 함께 물어봐 주세요.
미사고 수학Ⅱ 중간은 도함수의 활용까지 범위가 넓고 3점대 문항이 2개뿐이라, 기본 문항을 다 맞혀도 점수가 안 쌓입니다. 극한은 ‘조건으로 다항함수 결정’(9·13·16번)과 ‘교점 개수·곱의 좌·우극한’(5·14·15번) 두 유형으로 나눠 그래프를 그려 연습하고, 연속은 최대·최소 정리를 역으로 쓰는 17번 유형과 주기 조건(21번)을 한 번씩 풀어 두세요. 도함수의 활용은 평균값 정리(1번)·접선 존재 조건(4번)·극댓값 역산(10번)·내접 입체의 최댓값(12번)·대칭 사차함수(16번)처럼 교과서 단원 끝 문제가 그대로 나오므로 유형별로 식을 세우는 틀을 외워 두고, 19·20번처럼 구조를 파악해야 하는 문제는 시간을 정해 두고 넘기는 판단도 필요합니다. 서술형은 2문항 10점이지만 극솟값 조건(22번)은 f(x)=0의 근의 중복도를 먼저 쓰는 것이 부분 점수입니다.
제공받은 기출 자료(문항·배점·정답표가 실린 재구성본, 2015 개정 교육과정 기준)를 하남EDU 편집부가 직접 보고 문항 구성·배점·출제 개념·난도를 정리했습니다. 원본 시험지의 쪽수·시행일·서술형 채점 기준은 자료에 없어 확인되지 않았습니다. 시험 문항은 미사고등학교 저작물이므로 문항 원문·그림·정답은 싣지 않습니다. 공식 평균점수·정답률은 확인되지 않았고, 난도는 문항 구조 기준의 편집부 평가입니다. 학교의 공식 자료가 아닙니다.
원본 시험지는 공개·판매·다운로드되지 않습니다. 이 페이지는 문항 번호·핵심 개념·배점·난도만 정리한 분석정보이며 문항 전문과 시험지 이미지는 싣지 않습니다. 학교의 공식 자료가 아닙니다.
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