2024 미사고등학교 2학년 수학Ⅰ · 1학기 중간 시험지 분석

문항·배점 구성

시험지 5쪽, 선다형 20문항 88점 + 논술형 2문항 12점, 총 100점(학교 배점표의 선택형 만점 88·서답형 만점 12와 일치). 선다형 배점은 3.7 · 3.7 · 3.9 · 3.9 · 4.1 · 4.1 · 4.2 · 4.2 · 4.4 · 4.4 · 4.5 · 4.5 · 4.5 · 4.6 · 4.6 · 4.7 · 4.7 · 4.9 · 5.1 · 5.3점으로 1번부터 20번까지 커지고, 논술형은 1번 6점, 2번 6점((1) 2점 + (2) 4점)입니다. 단원별로는 삼각함수 36.9점(3·4·12·13·14·15·18번 + 논술형 2), 지수함수와 로그함수 34.1점(6·7·16·17·19·20번 + 논술형 1), 로그 16.7점(2·5·9·11번), 지수 12.3점(1·8·10번)입니다.

난이도

시험지 5쪽과 학교 배점표를 기준으로 본 전체 난도는 중상, 고득점 난도는 상입니다. 선다형 20문항의 배점이 1번 3.7점에서 20번 5.3점까지 번호 순으로 올라가 번호가 곧 난도 순서표입니다. 1~6번(3.7~4.1점)은 거듭제곱근 계산, 로그 계산, sinθ+cosθ에서 sinθcosθ, 각 변환 공식, 로그의 성질, 지수함수와 역함수의 교점처럼 공식을 한 번 쓰는 문항이고, 7~13번(4.2~4.5점)은 로그함수 그래프의 평행·대칭이동 판단, 거듭제곱근이 자연수가 되는 조건, 이차부등식과 로그를 섞은 9번, 지수와 로그의 변환(10번), 지진 규모 공식(11번), 두 직선이 만드는 삼각형 넓이와 삼각함수(12번), 그래프로 사인함수 계수 찾기(13번)로 한 단계 길어집니다. 14~20번(4.6~5.3점)은 탄젠트 함수의 최대·최소(14번), 제3사분면 각이 되는 n의 개수(15번), 직선과 두 지수함수의 교점 거리(16번), 두 지수함수를 이어 붙인 함수와 직선의 교점 개수(17번), 사인함수와 원점을 지나는 직선의 교점 13개(18번), 절댓값이 있는 로그함수의 빈칸 추론(19번), 두 로그함수의 실근 개수 조건으로 순서쌍 세기(20번)처럼 그래프를 직접 그려 조건을 읽어야 하는 문항입니다. 논술형은 치환으로 지수함수의 최솟값 구하기(1번, 6점)와 코사인 그래프와 세 직선의 교점 개수(2번, 6점)입니다. 공식 평균점수·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.

문항별 핵심 개념

시험의 주요 특징

① 지수(1·8·10번) — ∛4×8^(1/9)(1번), (1/⁶√9 × ⁴√27)ⁿ이 자연수가 되는 n의 최솟값(8번), 3ᵃ=2·5ᵇ=4일 때 5^(2b/a)(10번). ② 로그(2·5·9·11번) — log₁₆3×(log₃20−log₃5)(2번), 상용로그 합이 지수에 들어간 식에서 log ab+log bc+log ca(5번), 모든 실수 x에 대해 3x²−2(log₂t)x+log₂t>0이 되는 자연수 t의 개수(9번), 지진 규모 M과 에너지 E의 관계식으로 규모가 3 커질 때 에너지가 몇 배인지(11번). ③ 지수함수와 로그함수(6·7·16·17·19·20번, 논술형 1) — y=3^(x−m)과 역함수의 교점 x좌표가 3일 때 m(6번), y=log₂x를 평행·대칭이동해 얻을 수 없는 그래프(7번), 직선 y=−5x+k가 y=2ˣ·y=2^(x+2)+3과 만나는 두 점 사이 거리가 √26일 때 k(16번), 두 지수함수를 교점에서 이어 붙인 h(x)와 y=t의 교점이 2개인 t의 범위(17번), f(x)=log_(1/2)(|x+a|−a)에 대한 빈칸 (가)·(나) 추론(19번), |log₃(x+9)−m|과 |log₂(2−x)+n|이 각각 y=t와 두 점에서 만나는 정수 순서쌍 (m,n)의 개수(20번, mn=−20). 논술형 1번은 4ˣ+4^(2−x)−2(2ˣ+2^(2−x))+13의 최솟값과 그때의 x를 과정과 함께 씁니다. ④ 삼각함수(3·4·12·13·14·15·18번, 논술형 2) — sinθ+cosθ=√2일 때 sinθcosθ(3번), π−θ·π/2+θ·3π/2−θ·π+θ 각 변환(4번), 원점을 지나고 각 θ·2θ를 이루는 두 직선과 y=1이 만드는 삼각형 넓이 √3/2에서 cos2θ(12번), 그래프로 y=a sin(bx−c)의 abc(13번), 정의역이 주어진 y=a−(1/√3)tan4x의 최대 6·최소 b로 a+b(14번), (60/n)π가 제3사분면의 각이 되는 두 자리 자연수 n의 개수(15번), y=−sin(π/2·x−π/4)와 y=x/m의 교점이 13개인 자연수 m의 개수(18번). 논술형 2번은 0<x<2π에서 y=a cos x+b와 y=−3·0·3의 교점 개수 p·q·r로 (1) q=1인 순서쌍(2점), (2) p+q+r=5인 순서쌍(4점)을 씁니다. 채점 기준은 공개되지 않았습니다.

상대적으로 변별력이 높은 문항

4.7점 이상 5문항과 논술형 2번이 변별 구간입니다. 20번(5.3점)은 y=|log₃(x+9)−m|(x≥0)과 y=|log₂(2−x)+n|(x<0)의 그래프가 x축에 닿는 점이 정의역 안에 있어야 y=t와 두 점에서 만날 수 있다는 것을 각각 m·n의 조건으로 바꾸고, mn=−20인 정수 쌍 중 두 조건을 함께 만족하는 것을 세야 해 그래프 판단과 경우 세기가 겹칩니다. 19번(5.1점)은 |x+a|가 있어 그래프가 x=−a에 대해 대칭이라는 것을 이용해 두 교점 사이 거리를 식으로 쓰고, (가)에서 길이의 하한을 a로 나타낸 뒤 (나)에서 CD와 EF의 관계식으로 값을 정하는 빈칸 추론형입니다. 18번(4.9점)은 원점을 지나는 직선 y=x/m과 주기 4인 사인 곡선의 교점이 13개가 되도록 직선이 몇 번째 꼭대기·바닥 사이를 지나야 하는지 그래프로 세어야 합니다. 17번(4.7점)은 두 지수함수의 교점 (m,n)을 먼저 구하고 각 조각의 점근선 y=−1·y=3/4과 교점의 높이로 y=t가 두 번 만나는 범위를 읽어야 하며, 16번은 두 함수가 평행이동 관계라는 점과 직선의 기울기 −5를 써서 두 교점의 좌표 차를 정하는 발상이 핵심입니다. 14번은 탄젠트 함수가 주어진 구간에서 증가한다는 것을 보고 a를 정하는 문항, 15번은 제3사분면 조건을 2kπ+π<(60/n)π<2kπ+3π/2(k는 정수) 꼴의 부등식으로 바꿔 두 자리 n을 세는 문항입니다. 논술형 1번은 2ˣ+2^(2−x)=t로 치환하고 산술·기하 평균으로 t≥4라는 범위를 잡아야 최솟값이 바로 나오며, 논술형 2번 (2)는 a·b의 크기에 따라 그래프가 세 직선과 만나는 점의 개수가 달라지는 경우를 나눠야 합니다.

학부모가 알아야 할 점

배점이 번호 순으로 커지는 시험이라 ‘몇 번까지 안정적으로 맞히는가’가 현재 위치를 보여 줍니다. 1~6번은 공식 적용, 7~15번은 그래프 이동이나 조건을 식으로 바꾸는 문항, 16~20번은 그래프를 직접 그려 교점·실근 개수를 세는 문항입니다. 해당 문항을 틀렸다면 관련 개념의 이해, 조건 해석, 계산 과정, 시간 부족 중 어디에서 어려움이 있었는지 풀이를 보며 점검할 필요가 있습니다. 논술형은 총 12점입니다. 논술형 1번은 지수가 들어간 식을 한 문자로 치환하고 그 문자의 범위를 정해 최솟값을 구하는 6점 문제이고, 논술형 2번은 코사인 그래프와 세 직선의 교점 개수 조건으로 순서쌍을 찾는 6점 문제((1) 2점, (2) 4점)입니다. 따라서 치환 범위를 정한 근거와, a·b 값에 따라 교점 개수가 달라지는 경우 구분을 각각 서술하는 연습이 필요합니다.

다음 시험 대비 — 이번 시험에서 중요했던 학습 포인트

미사고 2학년 1학기 중간 수학Ⅰ은 지수·로그부터 지수함수·로그함수, 삼각함수의 그래프까지 넓은 범위였고, 배점이 3.7점에서 5.3점까지 번호 순으로 올라가는 구조입니다. 1~6번은 지수법칙·로그의 성질·삼각함수 기본 관계를 공식처럼 꺼내는 구간이라 속도와 정확도가 점수이고, 7번 이후는 그래프의 이동·대칭·점근선을 그려서 판단하는 문항이 대부분입니다. 지수함수와 로그함수(34.1점)는 역함수와의 교점, 평행이동 관계, 절댓값이 있는 로그함수의 개형(19·20번)을 손으로 그려 보는 연습이 필요하고, 삼각함수(36.9점)는 주기·최대·최소로 계수를 찾는 13·14번 유형과 그래프와 직선의 교점 개수를 세는 18번·논술형 2번 유형이 핵심입니다. 논술형 12점은 치환한 문자의 범위를 근거와 함께 쓰는 1번과, a·b에 따른 경우를 빠짐없이 나눠 쓰는 2번으로 성격이 다르므로 각각의 서술 틀을 연습해 두세요.

자주 묻는 질문

2024 미사고2 1학기 중간 수학Ⅰ 시험은 어떻게 구성됐나?

2024년 4월 24일 시행. 선다형 20문항 88점(3.7~5.3점, 번호 순으로 증가)과 논술형 2문항 12점(6·6점), 총 100점입니다. 단원별로는 삼각함수 36.9점, 지수함수와 로그함수 34.1점, 로그 16.7점, 지수 12.3점입니다.

난이도는 어느 정도였나?

전체 난도 중상, 고득점 난도 상입니다. 1~6번은 공식 적용, 7~15번은 그래프 이동과 조건 변환, 16~20번은 그래프를 그려 교점·실근 개수를 세는 문항입니다. 공식 평균·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.

풀이가 길어진 문항은?

20번(절댓값이 있는 두 로그함수의 실근 개수로 순서쌍 세기), 19번(로그함수 빈칸 추론), 18번(사인함수와 직선의 교점 13개), 17번(이어 붙인 지수함수와 y=t의 교점), 논술형 2번(코사인 그래프와 세 직선의 교점 개수)입니다.

시험 구조에서 눈에 띄는 점은?

선다형 배점이 3.7점부터 5.3점까지 번호 순으로 오르고, 중간고사 범위에 삼각함수의 그래프까지 들어가 삼각함수 비중(36.9점)이 가장 큽니다. 마지막 세 문항(18~20번)과 논술형 2번이 모두 그래프와 직선의 교점 개수를 세는 구조입니다.