2024 미사고등학교 2학년 수학Ⅰ · 1학기 기말 시험지 분석

문항·배점 구성

시험지 5쪽, 선다형 21문항 88점 + 논술형 2문항 12점, 총 100점(학교 배점표의 선택형 만점 88·서답형 만점 12와 일치). 선다형 배점은 3.4 · 3.4 · 3.4 · 3.6 · 3.6 · 3.7 · 3.7 · 3.9 · 3.9 · 4.1 · 4.1 · 4.3 · 4.3 · 4.5 · 4.5 · 4.7 · 4.7 · 4.9 · 4.9 · 5.1 · 5.3점으로 1번부터 21번까지 커지고, 논술형은 1번 5점, 2번 7점((1) 4점 + (2) 3점)입니다. 단원별로는 삼각함수의 활용 25.4점(6·7·9·14·16·19번), 등비수열 17.4점(10·11·13·18번), 등차수열 16.7점(5·8·15·17번), 삼각함수 방정식·부등식·최대 15.7점(1·21번 + 논술형 2), 귀납적 정의와 수학적 귀납법 12.8점(2·12·20번), 수열의 합 12점(3·4번 + 논술형 1)입니다. 수열 단원 합계는 58.9점입니다.

난이도

시험지 5쪽과 학교 배점표를 기준으로 본 전체 난도는 중상, 고득점 난도는 상입니다. 선다형 21문항의 배점이 1번 3.4점에서 21번 5.3점까지 번호 순으로 올라가 번호가 곧 난도 순서표입니다. 1~7번(3.4~3.7점)은 삼각방정식의 근의 합, 귀납적 정의로 항 구하기, Σ의 성질, 나머지가 2인 수의 합, 사인법칙, 코사인법칙처럼 공식을 한 번 쓰는 문항이고, 8~13번(3.9~4.3점)은 등차수열의 음수 항, 코사인법칙과 정사각형으로 만든 넓이(9번), 등비수열의 부분합 S₆·S₁₂·S₁₈(10번), 적립금의 원리합계(11번), 수학적 귀납법 빈칸(12번), 등비수열의 일부 항의 합(13번)으로 한 단계 길어집니다. 14~21번(4.5~5.3점)은 원에 내접하는 사각형과 같은 각(14번), 등차수열 합의 최대와 S_k의 합(15번), 원 위의 점으로 만든 넓이가 자연수인 삼각형(16번), Sₙ과 |aₖ|의 합 Tₙ(17번), 반원을 반복해 만든 닮은 삼각형의 둘레(18번), 삼각형의 각 조건과 외접원(19번), 홀짝에 따라 달라지는 귀납적 정의의 역추적(20번), 두 삼각함수 값의 대소로 순서쌍 세기(21번)처럼 조건이 여러 겹인 문항입니다. 논술형은 Σ로 주어진 수열의 일반항과 부분분수 합(1번, 5점), 각을 통일해 치환하는 삼각함수의 최댓값과 그때의 x(2번, 7점)입니다. 공식 평균점수·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.

문항별 핵심 개념

시험의 주요 특징

① 삼각함수 방정식·부등식·최대(1·21번, 논술형 2) — 0≤x<2π에서 cos x=1/2의 모든 근의 합(1번), a≤6·b≤10인 자연수에서 sin(aπ/6)−cos(bπ/6)≤0을 만족하는 순서쌍 (a,b)의 개수(21번). 논술형 2번은 0≤x≤5π/2에서 2sin²(9π/10−x)−2sin(x−2π/5)+k가 x=α에서 최댓값 4를 가질 때 (1) k(4점), (2) α의 값 전부(3점)를 씁니다. ② 삼각함수의 활용(6·7·9·14·16·19번) — 외접원 반지름 3·세 변의 합 12로 sinA+sinB+sinC(6번), 정삼각형에서 내분점과 중점 사이 거리 DM²(7번), 세 변이 주어진 삼각형과 정사각형 BEDC로 삼각형 ABE의 넓이(9번), AB=2·AC=4·AD=3이고 ∠BAC=∠DAC인 원에 내접하는 사각형에서 sin(∠BDC)(14번), 반지름 4인 원 위 AB=1과 넓이가 자연수인 삼각형 PAB의 꼭짓점 P로 (AP₃+AP₄)²(16번), sin(B+C)+sin(A+C)cos(A+B)=0·cosA+cosC=3√5/5일 때 BC×AB/R²(19번). ③ 등차수열(5·8·15·17번) — 100 미만에서 6으로 나눈 나머지가 2인 수의 합(5번), a₁=a₄+9·a₂=14일 때 aₙ<0인 n의 최솟값(8번), Sₙ이 n=5에서 최대이고 S₄=S₆일 때 ΣSₖ가 최대인 m의 합(15번), 세 조건을 만족하는 Sₙ·Tₙ으로 T₉(17번). ④ 등비수열(10·11·13·18번) — S₆=6·S₁₂=48일 때 S₁₈(10번), 연이율 4% 복리로 매년 초 20만 원씩 10년 적립한 원리합계(11번), 첫째항 2·공비 3인 수열의 Σ(a₃ₖ₋₂+a₃ₖ₋₁)(13번), 반원 안에 4:3 비율로 닮은 삼각형과 반원을 반복해 만든 둘레 aₙ에서 a₅=12k⁴인 k(18번). ⑤ 수열의 합(3·4번, 논술형 1) — Σ(a₂ₖ+a₂ₖ₋₁)=Σa₁~a₂₄인 m(3번), 두 Σ 조건으로 Σ(aₖ+bₖ)(4번). 논술형 1번은 Σaₖ=n(n−1)/2인 수열로 Σ1/(aₙaₙ₊₂)(n=2~9)를 기약분수로 구합니다. ⑥ 귀납적 정의와 수학적 귀납법(2·12·20번) — aₙ₊₁=aₙ+2n+4로 a₄(2번), 1/(2×4)+…+1/{2n(2n+2)}=n/(4n+4)의 수학적 귀납법 증명 빈칸(12번), aₙ₊₁의 홀짝에 따라 규칙이 달라지는 자연수 수열에서 a₅=45일 때 a₇의 최댓값과 최솟값의 합(20번). 채점 기준은 공개되지 않았습니다.

상대적으로 변별력이 높은 문항

4.7점 이상 6문항과 논술형 2번이 변별 구간입니다. 21번(5.3점)은 a·b가 정해진 범위의 자연수이므로 sin(aπ/6) 값 여섯 가지와 cos(bπ/6) 값 열 가지를 표로 정리한 뒤 대소를 비교해 세야 해 단위원이나 그래프를 쓰지 않으면 누락이 생기기 쉽습니다. 20번(5.1점)은 a₅=45에서 거꾸로 a₄·a₃을 추적할 때 aₙ₊₁의 홀짝에 따라 두 갈래로 나뉘고, a₆·a₇로 다시 앞으로 진행해야 해 경우 나무를 끝까지 그려야 합니다. 19번(4.9점)은 A+B+C=π로 (가)를 sinA=sinB·cosC 꼴로 바꾸고 사인·코사인법칙으로 변의 관계(직각삼각형)를 찾은 뒤 (나)로 변의 비를 정하는 세 단계이고, 18번(4.9점)은 반원에 내접하는 다음 반원의 지름이 일정한 비율로 줄어든다는 것을 닮음으로 찾아 둘레가 등비수열임을 보이는 문항입니다. 17번(4.7점)은 (가)에서 7번째 항까지 음수 또는 0, (나)에서 대칭인 합 0을 읽어 공차와 첫째항을 정하고, 16번(4.7점)은 넓이가 자연수가 되는 높이를 정해 원 위의 점 개수를 센 뒤 코사인법칙으로 (AP₃+AP₄)²를 구하는 긴 문항입니다. 15번은 S₄=S₆에서 a₅+a₆=0을 읽고 Sₖ의 부호가 바뀌는 지점을 찾는 것이 핵심입니다. 논술형 2번은 9π/10−x와 x−2π/5의 합이 π/2라는 것을 보고 사인을 코사인으로 바꿔 sin(x−2π/5) 하나로 통일한 뒤, 치환한 문자의 범위에서 최댓값을 찾고 그 값을 갖는 x를 모두 구하는 단계가 필요합니다.

학부모가 알아야 할 점

배점이 번호 순으로 커지는 시험이라 1~9번을 실수 없이 지키는 것이 기본이고, 4.7점 이상 6문항과 논술형 2번에서 점수가 갈립니다. 14·16·19번은 사인·코사인법칙을 도형 조건과 함께 쓰는 문항, 15·17·18·20번은 수열의 조건을 해석해 공차·공비나 앞뒤 항을 정하는 문항, 21번은 삼각함수 값의 대소를 빠짐없이 세는 문항입니다. 해당 문항을 틀렸다면 관련 개념의 이해, 조건 해석, 계산 과정, 시간 부족 중 어디에서 어려움이 있었는지 풀이를 보며 점검할 필요가 있습니다. 논술형은 총 12점입니다. 논술형 1번은 합으로 주어진 수열의 일반항을 구하고 부분분수로 합을 계산하는 5점 문제이고, 논술형 2번은 각을 하나로 통일해 치환한 삼각함수의 최댓값으로 k를 구하는 (1) 4점과 최댓값을 갖는 x를 모두 찾는 (2) 3점으로 이루어진 7점 문제입니다. 따라서 일반항을 구하는 과정과 소거 과정, 치환한 문자의 범위와 해를 모두 찾는 과정을 각각 근거와 함께 서술하는 연습이 필요합니다.

다음 시험 대비 — 이번 시험에서 중요했던 학습 포인트

미사고 2학년 1학기 기말 수학Ⅰ은 삼각함수의 방정식·부등식과 활용(41.1점), 수열 전체(58.9점)가 범위였고, 중간과 같이 배점이 번호 순으로 3.4점에서 5.3점까지 올라가는 구조입니다. 1~9번은 사인·코사인법칙, 등차·등비수열 공식, Σ의 성질을 바로 쓰는 구간이라 정확도가 점수입니다. 삼각함수의 활용은 원에 내접하는 도형(14·16번)과 각 조건을 변의 관계로 바꾸는 19번 유형이 고배점이고, 수열은 합의 최대(15번), 절댓값 합 Tₙ(17번), 도형 반복의 등비수열(18번), 홀짝으로 갈리는 귀납적 정의(20번)처럼 조건을 해석하는 문항이 많습니다. 삼각부등식은 21번처럼 값이 정해진 각을 표로 비교하는 연습을 해 두세요. 논술형은 Σ에서 일반항을 구하고 부분분수로 소거하는 1번(5점)과, 각을 통일해 치환한 뒤 최댓값과 그 x를 모두 찾는 2번(7점)으로 성격이 다르므로, 일반항을 구할 때 n=1을 따로 확인하는 과정과 치환 범위를 적는 과정을 빠뜨리지 않도록 연습해야 합니다.

자주 묻는 질문

2024 미사고2 1학기 기말 수학Ⅰ 시험은 어떻게 구성됐나?

2024년 7월 1일 시행. 선다형 21문항 88점(3.4~5.3점, 번호 순으로 증가)과 논술형 2문항 12점(5·7점), 총 100점입니다. 단원별로는 삼각함수의 활용 25.4점, 등비수열 17.4점, 등차수열 16.7점, 삼각방정식·부등식·최대 15.7점, 귀납적 정의와 수학적 귀납법 12.8점, 수열의 합 12점입니다.

난이도는 어느 정도였나?

전체 난도 중상, 고득점 난도 상입니다. 1~9번은 공식 적용, 10~15번은 수열·도형 조건을 한 번 더 해석하는 문항, 16~21번은 조건이 여러 겹인 문항입니다. 공식 평균·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.

풀이가 길어진 문항은?

21번(삼각함수 값의 대소로 순서쌍 세기), 20번(홀짝으로 갈리는 귀납적 정의 역추적), 19번(삼각형의 각 조건과 외접원), 18번(반원을 반복한 등비수열), 16번(원 위의 점과 코사인법칙), 논술형 2번(각을 통일한 치환과 최댓값)입니다.

시험 구조에서 눈에 띄는 점은?

같은 학기 중간과 같이 선다형 배점이 번호 순으로 오르고 선택형 88점·서답형 12점 구조가 같습니다. 수열이 58.9점으로 절반 이상이고, 삼각함수는 사인·코사인법칙을 도형에 쓰는 활용 문항(25.4점)이 중심입니다.