2024학년도 2학기 중간에 치른 미사고등학교 1학년 수학(하) 시험은 자료 기준 선다형 18문항 85점과 서술형 3문항 15점으로, 원의 방정식 34점·집합 23.4점·명제 18.8점·도형의 이동 13.2점·평면좌표와 직선 10.6점이 범위였습니다. 배점이 번호 순으로 4점에서 5.6점까지 올라가고, 무게중심과 외접원의 중심 조건(18번), 서로 나누어떨어지지 않는 원소로 만든 집합(16번), 원의 접선과 길이의 비(17번), 거리의 비가 일정한 점의 자취(서술형 21번)가 변별하는 중 난도(고득점 중상)의 시험입니다.
분석 게재 2026.10.18
자료의 문항별 배점을 합산했습니다(단위: 점). 원 34 · 집합 23.4 · 명제 18.8 · 도형의 이동 13.2 · 평면좌표와 직선 10.6.
선다형 18문항(85점)과 서술형 3문항(15점)을 합친 21문항 기준입니다.
선다형 18문항 85점 + 서술형(논술형) 3문항 15점, 총 100점(자료의 문항별 배점 합산). 선다형 배점은 4 · 4.2 · 4.2 · 4.4 · 4.4 · 4.4 · 4.6 · 4.6 · 4.6 · 4.8 · 4.8 · 4.8 · 5 · 5 · 5 · 5.2 · 5.4 · 5.6점으로 1번부터 18번까지 커지고, 서술형은 19번 4점 · 20번 5점 · 21번 6점입니다. 단원별로는 원의 방정식 34점(2·5·7·9·10·17·21번), 집합 23.4점(3·6·8·15·16번), 명제 18.8점(12·13·14·19번), 도형의 이동 13.2점(1·4·11번), 평면좌표와 직선 10.6점(18·20번)입니다.
자료에 실린 21문항 전체를 기준으로 본 전체 난도는 중, 고득점 난도는 중상입니다. 선다형 18문항의 배점이 1번 4점에서 18번 5.6점까지 번호 순으로 올라가 번호가 곧 난도 순서표입니다. 1~6번(4~4.4점)은 점의 평행이동, 원이 되는 조건, 집합의 연산, 대칭이동한 직선이 원의 넓이를 이등분하는 조건, 원과 직선의 위치 관계, 원소의 개수처럼 정의를 바로 쓰는 문항이고, 7~12번(4.6~4.8점)은 원 위의 점에서의 접선과 다른 원의 위치 관계(7번), 집합 연산 법칙 보기(8번), 두 평행선에 접하는 원(9번), 원 밖의 점에서 그은 접선(10번), 대칭이동을 이용한 최단 거리(11번), 세 명제와 진리집합의 포함 관계(12번)로 한 단계 길어집니다. 13~18번(5~5.6점)은 충분·필요조건을 범위로 바꾸는 13번, 수직 조건과 산술·기하 평균(14번), 원소의 곱이 짝수인 부분집합의 개수(15번), 서로 나누어떨어지지 않는 원소로 만든 집합의 원소 합 최대(16번), 원의 접선과 길이의 비(17번), 무게중심과 외접원의 중심 조건으로 점과 직선 사이 거리(18번)입니다. 서술형은 명제의 부정(19번, 4점), 무게중심과 점과 직선 사이 거리(20번, 5점), 두 점까지 거리의 비가 2:1인 점의 자취와 OP의 최대·최소(21번, 6점)입니다. 공식 평균점수·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.
| 문항 | 핵심 개념 | 성격 | 분석 난도 |
|---|---|---|---|
| 1 | (a,2b)를 (3,−4)만큼 평행이동한 점이 (5,a)일 때 b (4점) | 도형의 이동 · 점의 평행이동 | 하 |
| 2 | x²+y²−4x+8y+k=0이 원이 되는 정수 k의 최댓값 (4.2점) | 원의 방정식 · 원이 되는 조건 | 하 |
| 3 | 6의 약수 집합과 소수 집합의 합·여집합·차·교집합 중 옳은 것 (4.2점) | 집합 · 연산 | 하 |
| 4 | x축·y=x 대칭이동한 직선이 원의 넓이를 이등분할 때 a (4.4점) | 도형의 이동 · 대칭이동 | 중하 |
| 5 | x²+y²=5와 x+2y+k=0이 두 점에서 만나는 k의 최솟값, 접하는 k의 최댓값으로 b−a (4.4점) | 원과 직선의 위치 관계 | 중하 |
| 6 | 32명 중 두 활동을 모두 신청하지 않은 학생 수 (4.4점) | 집합 · 원소의 개수 | 하 |
| 7 | x²+y²=25 위 (4,−3)에서의 접선이 다른 원과 만나는 자연수 r의 최솟값 (4.6점) | 원 · 접선과 다른 원 | 중하 |
| 8 | 차집합·여집합 연산식 세 개의 참·거짓 (4.6점) | 집합 · 연산 법칙 보기 | 중 |
| 9 | y=3x−1, y=3x+19에 접하고 (−2,11)을 지나는 원의 a+b+r² (4.6점) | 원 · 두 평행선에 접하는 원 | 중 |
| 10 | (2,−3)에서 x²+y²=4에 그은 접선의 x절편 A·B 사이 거리 (4.8점) | 원 · 원 밖의 점에서 그은 접선 | 중 |
| 11 | x축 위 C, y=x 위 D로 AD+CD+BC가 최소일 때 CD의 길이 (4.8점) | 대칭이동 · 최단 거리 | 중 |
| 12 | p→q, r→~q, s→r이 참일 때 항상 옳은 포함 관계 (4.8점) | 명제 · 진리집합 | 중 |
| 13 | p는 q의 충분조건, r의 필요조건일 때 b−a의 최댓값 (5점) | 명제 · 충분·필요조건 | 중상 |
| 14 | 두 직선이 수직일 때 (2a+1)(b+2)의 최솟값 (5점) | 절대부등식 · 수직 조건 | 중 |
| 15 | {1,…,8}의 부분집합 중 원소의 곱이 짝수인 집합의 개수 (5점) | 집합 · 부분집합의 개수 | 중상 |
| 16 | n(A∪B)=14, n(A∩B)=2, A의 원소끼리 나누어떨어지지 않을 때 S(A)−S(B)의 최댓값 (5.2점) | 집합 · 조건을 만족하는 집합 구성 | 상 |
| 17 | x²+y²=25 위 P의 접선, 2AH=HB, 접선이 (k,√2)를 지날 때 k (5.4점) | 원 · 접선과 길이의 비 | 중상 |
| 18 | 무게중심 (−1,2), 외접원 중심 원점일 때 A와 직선 BC 사이 거리 (5.6점) | 무게중심 · 외심 · 점과 직선 거리 | 상 |
| 논술 19 | ‘어떤 실수 x에 대하여 x²−12x+k<0’의 부정이 참이 되는 k의 최솟값 (4점) | 명제 · 부정과 판별식 서술 | 중하 |
| 논술 20 | △OAB의 무게중심 G(3,b)와 직선 OA 사이 거리 12/√13일 때 a·b (5점) | 평면좌표 · 무게중심과 거리 서술 | 중 |
| 논술 21 | AP:BP=2:1인 점 P의 자취로 OP의 최댓값과 최솟값의 곱 (6점) | 원 · 자취와 최대·최소 서술 | 중상 |
① 원의 방정식(2·5·7·9·10·17·21번) — x²+y²−4x+8y+k=0이 원이 되는 정수 k의 최댓값(2번), 원 x²+y²=5와 직선 x+2y+k=0이 두 점에서 만나는 k의 최솟값과 접하는 k의 최댓값(5번), 원 x²+y²=25 위 (4,−3)에서의 접선이 다른 원과 만나는 자연수 r의 최솟값(7번), 두 평행선 y=3x−1·y=3x+19에 동시에 접하고 (−2,11)을 지나는 원(9번), (2,−3)에서 x²+y²=4에 그은 두 접선의 x절편 사이 거리(10번), 원 위 점 P에서의 접선이 x축과 만나는 B와 수선의 발 H에서 2AH=HB일 때 접선이 지나는 점의 k(17번). 서술형 21번은 A(2,3)·B(5,6)에 대해 AP:BP=2:1인 점 P에서 OP 길이의 최댓값과 최솟값의 곱을 과정과 함께 씁니다. ② 집합(3·6·8·15·16번) — 6의 약수와 소수 집합의 연산(3번), 32명 중 두 봉사 활동을 모두 신청하지 않은 학생 수(6번), 차집합·여집합 연산 법칙 보기(8번), {1,…,8}의 부분집합 중 원소의 곱이 짝수인 집합의 개수(15번), n(A∪B)=14·n(A∩B)=2이고 A의 원소끼리 서로 나누어떨어지지 않을 때 S(A)−S(B)의 최댓값(16번). ③ 명제(12·13·14·19번) — p→q, r→~q, s→r이 참일 때 진리집합의 포함 관계(12번), p: x(x+5)<14가 q: |x|≤a의 충분조건이고 r: |x+2|<b의 필요조건일 때 b−a의 최댓값(13번), 두 직선이 수직일 때 (2a+1)(b+2)의 최솟값(14번, 산술·기하 평균). 서술형 19번은 ‘어떤 실수 x에 대하여 x²−12x+k<0’의 부정을 쓰고 부정이 참이 되는 k의 최솟값을 구합니다. ④ 도형의 이동(1·4·11번) — 점 (a,2b)의 평행이동(1번), 직선 x+ay+1=0을 x축·y=x에 차례로 대칭이동한 직선이 원의 넓이를 이등분할 때 a(4번), A(3,4)·B(−4,1)과 x축 위 C·y=x 위 D로 AD+CD+BC가 최소일 때 CD의 길이(11번). ⑤ 평면좌표와 직선(18·20번) — A(−5,−2)와 B·C로 만든 삼각형의 무게중심이 (−1,2)이고 외접원의 중심이 원점일 때 A와 직선 BC 사이 거리(18번). 서술형 20번은 O·A(6,4)·B(3,a)의 무게중심 G(3,b)와 직선 OA 사이 거리가 12/√13일 때 a·b를 구합니다. 채점 기준은 자료에 없습니다.
5점 이상 6문항과 서술형 21번이 변별 구간입니다. 18번(5.6점)은 외접원의 중심이 원점이므로 B·C가 반지름 OA인 원 위에 있고, 무게중심 조건으로 BC의 중점 M을 구한 뒤 ‘OM⊥BC’를 써서 직선 BC를 세워야 A와의 거리가 나오는데, 무게중심·외심·수직 조건이 한 문제에 겹칩니다. 16번(5.2점)은 A∩B의 두 원소를 작게, A−B의 원소를 크게 잡되 A의 원소끼리 배수 관계가 없어야 하므로 큰 수 위주로 A를 구성하면서 배수 관계를 피하는 조합을 찾아야 하고, n(A∪B)=14로 B의 원소 개수도 함께 맞춰야 해 경우를 직접 조정해야 합니다. 17번(5.4점)은 2AH=HB와 직각삼각형의 닮음(OP⊥l)에서 P의 x좌표를 정한 뒤 접선의 방정식에 (k,√2)를 넣는 두 단계입니다. 15번(5점)은 ‘곱이 짝수’를 ‘곱이 홀수인 경우의 여사건’으로 바꿔 전체 부분집합 수에서 홀수만으로 된 부분집합 수를 빼는 발상이 필요하고, 공집합 처리에 주의해야 합니다. 13번(5점)은 충분조건·필요조건을 진리집합의 포함 관계로 옮겨 a의 최솟값과 b의 최댓값을 따로 잡는 문항이고, 14번은 수직 조건 ab=4를 넣어 식을 전개한 뒤 산술·기하 평균을 쓰는 문항입니다. 11번(4.8점)은 A를 y=x에, B를 x축에 대칭이동한 두 점을 잇는 직선 위에 C·D가 놓인다는 발상이 핵심입니다. 서술형 21번(6점)은 AP:BP=2:1을 좌표로 풀어 원의 방정식을 얻고, 원점과 원의 중심 사이 거리 d와 반지름 r로 최댓값 d+r, 최솟값 d−r을 설명해야 합니다.
배점이 번호 순으로 커지는 시험이라 4점대 12문항을 실수 없이 지키는 것이 기본이고, 5점대 6문항과 서술형 21번에서 점수가 갈립니다. 13·14번은 명제의 조건을 범위나 부등식으로 옮기는 문항, 15·16번은 집합의 개수를 세거나 조건에 맞는 집합을 직접 구성하는 문항, 17·18번은 원과 직선·무게중심 조건을 좌표로 옮기는 문항입니다. 해당 문항을 틀렸다면 관련 개념의 이해, 조건 해석, 계산 과정, 시간 부족 중 어디에서 어려움이 있었는지 풀이를 보며 점검할 필요가 있습니다. 서술형은 총 15점입니다. 19번은 ‘어떤’이 들어간 명제의 부정을 쓰고 판별식으로 k의 범위를 정하는 4점 문제, 20번은 무게중심 좌표와 점과 직선 사이 거리로 a·b를 구하는 5점 문제, 21번은 거리의 비가 일정한 점의 자취를 원의 방정식으로 구하고 원점까지 거리의 최대·최소를 설명하는 6점 문제입니다. 따라서 명제의 부정 표현, 거리 공식의 대입 과정, 자취의 방정식과 최대·최소의 근거를 각각 정확히 서술하는 연습이 필요합니다.
미사고 1학년 2학기 중간은 수학(하) 앞부분인 원의 방정식·도형의 이동에 집합과 명제까지 들어간 넓은 범위였고, 1학기와 같이 선다형 배점이 번호 순으로 4점에서 5.6점까지 올라가는 구조입니다. 원의 방정식이 34점으로 가장 크므로 원과 직선의 위치 관계(중심과 직선 사이 거리), 원 위·밖의 점에서의 접선, 두 평행선에 접하는 원, 거리의 비가 일정한 점의 자취를 반드시 정리하세요. 집합은 원소의 개수 공식과 여사건으로 세는 부분집합의 개수(15번), 조건을 만족하는 집합을 직접 구성하는 문항(16번)이 5점대로 나왔고, 명제는 충분·필요조건을 진리집합의 포함 관계로 옮기는 13번과 산술·기하 평균을 쓰는 14번 유형이 핵심입니다. 1학기에 배운 평면좌표·직선의 방정식(무게중심·점과 직선 사이 거리)이 18·20번으로 다시 나왔으므로 함께 복습해야 합니다. 서술형 15점은 명제의 부정(4점), 무게중심과 거리 공식(5점), 자취의 방정식과 최대·최소(6점)로 성격이 다르므로 각 단계의 근거를 한 줄씩 적는 연습이 필요합니다.
제공받은 기출 자료(문항과 배점이 실린 재구성본, 2015 개정 교육과정 기준)를 하남EDU 편집부가 직접 보고 문항 구성·배점·출제 개념·난도를 정리했습니다. 원본 시험지의 쪽수·시행일·서술형 채점 기준은 자료에 없어 확인되지 않았습니다. 시험 문항은 미사고등학교 저작물이므로 문항 원문·그림·정답은 싣지 않습니다. 공식 평균점수·정답률은 확인되지 않았고, 난도는 문항 구조 기준의 편집부 평가입니다. 학교의 공식 자료가 아닙니다.
원본 시험지는 공개·판매·다운로드되지 않습니다. 이 페이지는 문항 번호·핵심 개념·배점·난도만 정리한 분석정보이며 문항 전문과 시험지 이미지는 싣지 않습니다. 학교의 공식 자료가 아닙니다.
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