2024년 4월 24일 치른 미사고등학교 1학년 1학기 중간 수학(상) 시험은 선다형 18문항 85점과 논술형 3문항 15점으로, 다항식의 연산 22점·이차방정식 20점·인수분해 15점·항등식과 나머지정리 14.8점·이차방정식과 이차함수 14.4점·복소수 13.8점이 범위였습니다. 배점이 번호 순으로 4점에서 5.6점까지 올라가고, 다항식의 배수 조건(18번), 나누어떨어지는 이차다항식 전부의 합(17번), 접선과 넓이로 정하는 이차함수(16번), 근의 차·합으로 만든 식이 자연수가 되는 k(논술형 3번)가 변별하는 중 난도(고득점 중상)의 시험입니다.
시험일 2024.04.24 · 분석 게재 2026.10.18
시험지와 학교 배점표의 문항별 배점을 합산했습니다(단위: 점). 다항식의 연산 22 · 이차방정식 20 · 인수분해 15 · 나머지정리 14.8 · 이차함수 14.4 · 복소수 13.8.
선다형 18문항(85점)과 논술형 3문항(15점)을 합친 21문항 기준입니다.
시험지 6쪽, 선다형 18문항 85점 + 논술형 3문항 15점, 총 100점(학교 배점표의 선택형 만점 85·서답형 만점 15와 일치). 선다형 배점은 4 · 4.2 · 4.2 · 4.4 · 4.4 · 4.4 · 4.6 · 4.6 · 4.6 · 4.8 · 4.8 · 4.8 · 5 · 5 · 5 · 5.2 · 5.4 · 5.6점으로 1번부터 18번까지 커지고, 논술형은 1번 4점 · 2번 5점 · 3번 6점입니다. 단원별로는 다항식의 연산 22점(1·2·3·7·14번), 이차방정식 20점(4·9·13번 + 논술형 3), 인수분해 15점(8·12·18번), 항등식과 나머지정리 14.8점(5·17번 + 논술형 2), 이차방정식과 이차함수 14.4점(6·10·16번), 복소수 13.8점(11·15번 + 논술형 1)입니다.
시험지 6쪽과 학교 배점표를 기준으로 본 전체 난도는 중, 고득점 난도는 중상입니다. 선다형 18문항의 배점이 1번 4점에서 18번 5.6점까지 번호 순으로 올라가고, 1~3번(4~4.2점)은 다항식의 덧셈·뺄셈, (x+2y−3z)²의 전개식 계수, 2x³−11x²+20x−15를 2x−3으로 나눈 몫과 나머지처럼 계산을 한 번 하면 끝나는 문항입니다. 4~12번(4.4~4.8점)은 근과 계수의 관계, 항등식의 미정계수, x축과의 교점, 차수를 낮춰 식의 값 구하기(7번), 네 일차식 곱에 상수를 더한 식의 완전제곱 꼴 인수분해(8번), 복소수 범위 인수분해(9번), 두 포물선과 직선의 위치 관계를 동시에 따지는 10번, z²이 음의 실수가 되는 조건(11번), x·y 두 문자 다항식의 인수(12번)로 한 단계씩 길어집니다. 13~18번(5~5.6점)은 근의 부호로 다른 이차방정식의 근 판정(13번), 곱셈공식 변형(14번), 복소수의 거듭제곱(15번), 접선과 넓이 조건으로 이차함수 결정(16번), 조건을 만족하는 이차다항식 전부의 합(17번), 다항식의 배수 조건을 정수 조건으로 바꾸는 18번입니다. 논술형은 켤레복소수 식의 값(1번, 4점), 몫과 나머지가 같은 다항식 나눗셈(2번, 5점), 근의 차·합으로 만든 식이 자연수가 되는 k(3번, 6점)입니다. 공식 평균점수·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.
| 문항 | 핵심 개념 | 성격 | 분석 난도 |
|---|---|---|---|
| 1 | 두 다항식 A·B로 X+B=A인 다항식 X (4점) | 다항식의 연산 · 덧셈과 뺄셈 | 하 |
| 2 | (x+2y−3z)²에서 z²의 계수와 yz의 계수의 합 (4.2점) | 다항식의 연산 · 전개식의 계수 | 하 |
| 3 | 삼차식을 2x−3으로 나눈 몫 Q(x)와 나머지 R로 Q(3)+R (4.2점) | 다항식의 연산 · 나눗셈 | 하 |
| 4 | 두 이차방정식의 근 α,β와 α+β,αβ로 a/b (4.4점) | 이차방정식 · 근과 계수의 관계 | 중하 |
| 5 | (x²−4)P(x)+ax+b가 삼차식과 항등일 때 3a+b (4.4점) | 항등식 · 미정계수 | 중하 |
| 6 | x²+2ax−5가 x축과 (−2,0)·(b,0)에서 만날 때 b/a (4.4점) | 이차함수 · x축과의 교점 | 중하 |
| 7 | x²−x+2=0일 때 사차식의 값(차수 낮추기) (4.6점) | 다항식의 연산 · 식의 값 | 중하 |
| 8 | (x−1)(x−3)(x−4)(x−6)+a=(x²+bx+c)²일 때 a+b+c (4.6점) | 인수분해 · 완전제곱식 | 중 |
| 9 | 9x²−6x+2를 복소수 범위에서 인수분해 (4.6점) | 이차방정식 · 복소수 범위 인수분해 | 중 |
| 10 | y=2x+k가 한 포물선과 만나고 다른 포물선과 만나지 않는 정수 k의 개수 (4.8점) | 이차함수 · 직선과 포물선의 위치 관계 | 중 |
| 11 | z=(3+(a+1)i)/(−2+ai)에서 z²이 음의 실수가 되는 음수 a (4.8점) | 복소수 · 실수 조건 | 중 |
| 12 | y²−2xy−x⁴−3x²−4의 인수 (4.8점) | 인수분해 · 두 문자 다항식 | 중 |
| 13 | ax²−bx+c=0의 두 근이 음수일 때 cx²+ax+b=0의 근 판정 (5점) | 이차방정식 · 근의 부호 | 중상 |
| 14 | x³−y³=12, x²+xy+y²=6일 때 x²−y² (5점) | 다항식의 연산 · 곱셈공식 변형 | 중 |
| 15 | α=(1+√3)/(2(1+i)), β=(1−√3)/(2(1−i))로 (α+β)¹⁰=a+bi일 때 a−√3b (5점) | 복소수 · 거듭제곱 | 중상 |
| 16 | 꼭짓점이 포물선과 직선의 접점, △ABC 넓이 10인 이차함수의 f(2) (5.2점) | 이차함수 · 접선과 넓이 | 중상 |
| 17 | P(−1)=0, P(x){P(x)−2}가 x(x−2)로 나누어떨어지는 이차다항식 전부의 합 Q(6) (5.4점) | 나머지정리 · 경우 구분 | 상 |
| 18 | n⁴+2n²−3이 (n−1)(n−2)의 배수가 되는 3 이상 자연수 n의 합 (5.6점) | 인수분해 · 정수 조건 | 상 |
| 논술 1 | x=2−3i, y=−1+i와 켤레복소수로 만든 식의 값 (4점) | 복소수 · 켤레복소수 서술 | 중하 |
| 논술 2 | f를 g로 나눈 몫과 나머지가 모두 g(x)−3x², f(1)=21일 때 f(x)−g(x)를 x−2로 나눈 나머지 (5점) | 나머지정리 · 다항식 나눗셈 서술 | 중상 |
| 논술 3 | x²+2kx+k²−2k=0의 두 근으로 {(α−β)²−2}/(α+β)²이 자연수가 되는 모든 실수 k (6점) | 이차방정식 · 근과 계수·판별식 서술 | 상 |
① 다항식의 연산(1·2·3·7·14번) — X+B=A를 만족하는 다항식 X(1번), (x+2y−3z)²에서 z²의 계수와 yz의 계수의 합(2번), 삼차식을 2x−3으로 나눈 몫 Q(x)와 나머지 R로 Q(3)+R(3번), x²−x+2=0일 때 사차식의 값(7번, 나눗셈으로 차수 낮추기), x³−y³=12·x²+xy+y²=6에서 x²−y²(14번). ② 항등식과 나머지정리(5·17번, 논술형 2) — (x²−4)P(x)+ax+b가 삼차식과 항등일 때 3a+b(5번), P(−1)=0이고 P(x){P(x)−2}가 x(x−2)로 나누어떨어지는 모든 이차다항식의 합 Q(x)에서 Q(6)(17번). 논술형 2번은 삼차항 계수가 3인 f(x)를 g(x)로 나눈 몫과 나머지가 모두 g(x)−3x²이고 f(1)=21일 때 f(x)−g(x)를 x−2로 나눈 나머지를 과정과 함께 씁니다. ③ 인수분해(8·12·18번) — (x−1)(x−3)(x−4)(x−6)+a가 완전제곱식으로 인수분해될 때 a+b+c(8번), y²−2xy−x⁴−3x²−4의 인수(12번), n⁴+2n²−3이 (n−1)(n−2)의 배수가 되는 3 이상 자연수 n의 합(18번). ④ 복소수(11·15번, 논술형 1) — z=(3+(a+1)i)/(−2+ai)에서 z²이 음의 실수가 되는 음수 a(11번), 분모에 1±i가 있는 α·β로 (α+β)¹⁰=a+bi일 때 a−√3b(15번). 논술형 1번은 x=2−3i·y=−1+i와 켤레복소수로 만든 식의 값을 과정과 함께 씁니다. ⑤ 이차방정식(4·9·13번, 논술형 3) — 두 이차방정식의 근이 이어지는 근과 계수의 관계로 a/b(4번), 9x²−6x+2의 복소수 범위 인수분해(9번), ax²−bx+c=0의 두 근이 모두 음수일 때 cx²+ax+b=0의 근 판정(13번). 논술형 3번은 x²+2kx+k²−2k=0의 두 근으로 만든 {(α−β)²−2}/(α+β)²이 자연수가 되는 모든 실수 k를 과정과 함께 씁니다. ⑥ 이차방정식과 이차함수(6·10·16번) — x축과 (−2,0)·(b,0)에서 만나는 조건으로 b/a(6번), 직선 y=2x+k가 한 포물선과는 만나고 다른 포물선과는 만나지 않는 정수 k의 개수(10번), 꼭짓점이 다른 포물선과 직선의 접점이고 x축과의 두 교점과 만든 삼각형 넓이가 10인 이차함수의 f(2)(16번). 채점 기준은 공개되지 않았습니다.
5점 이상 6문항과 논술형 2·3번이 변별 구간입니다. 18번(5.6점)은 n⁴+2n²−3을 (n−1)(n+1)(n²+3)으로 인수분해한 뒤 (n−1)을 약분하고, 남은 식을 n−2로 나눈 나머지가 상수가 되도록 바꿔 ‘n−2가 그 상수의 약수’라는 정수 조건으로 옮겨야 해 인수분해와 나머지정리가 함께 쓰입니다. 17번(5.4점)은 P(x){P(x)−2}가 x와 x−2로 각각 나누어떨어지므로 P(0)과 P(2)가 각각 0 또는 2라는 경우를 나누고, P(−1)=0까지 넣어 가능한 이차다항식을 모두 찾은 뒤 더해야 해 경우가 빠지기 쉽습니다. 16번(5.2점)은 판별식으로 접점(꼭짓점 A)을 먼저 구하고, 넓이 10에서 x축과의 두 교점 사이 거리를 정해 이차함수를 결정하는 두 단계입니다. 13번(5점)은 첫 방정식의 근과 계수의 관계에서 a·b·c의 부호 관계를 끌어낸 뒤 둘째 방정식의 두 근의 곱·합의 부호로 판정하는 문항이고, 15번은 α+β를 정리해 거듭제곱이 간단해지는 꼴로 바꾸는 것이 출발점입니다. 10번(4.8점)은 한 포물선과는 판별식 ≥0, 다른 포물선과는 판별식 <0을 동시에 만족하는 정수 범위를 세는 문항입니다. 논술형 3번(6점)은 (α−β)²과 (α+β)²을 k로 나타내 자연수 n에 대한 k의 이차방정식으로 바꾸고, k가 실수가 되는 n만 남기는 판별식 단계까지 써야 하며, 논술형 2번(5점)은 몫과 나머지가 같다는 조건으로 f(x)=g(x)−3x²에 g(x)+1을 곱한 꼴을 세우고 나머지의 차수 조건으로 g(x)의 차수를 정하는 설명이 필요합니다.
배점이 번호 순으로 커지는 시험이라 앞쪽 4점대 12문항을 실수 없이 지키는 것이 기본이고, 5점대 6문항과 논술형에서 점수가 갈립니다. 13·16번은 근과 계수의 관계와 판별식을 조건에 맞게 꺼내는 문항, 17·18번은 나머지정리·인수분해를 경우 구분이나 정수 조건으로 이어 가야 하는 문항입니다. 해당 문항을 틀렸다면 관련 개념의 이해, 조건 해석, 계산 과정, 시간 부족 중 어디에서 어려움이 있었는지 풀이를 보며 점검할 필요가 있습니다. 논술형은 총 15점입니다. 논술형 1번은 켤레복소수로 만든 식의 값을 구하는 4점 문제, 2번은 몫과 나머지가 같은 다항식 나눗셈에서 나머지를 구하는 5점 문제, 3번은 근과 계수의 관계와 판별식으로 조건을 만족하는 실수 k를 모두 찾는 6점 문제입니다. 따라서 복소수 계산의 정리 과정, 나눗셈식의 차수 판단, 경우를 빠뜨리지 않는 판별식 활용을 각각 근거와 함께 서술하는 연습이 필요합니다.
미사고 1학년 1학기 중간은 수학(상)의 다항식부터 이차방정식과 이차함수까지가 범위였고, 배점이 번호 순으로 4점에서 5.6점까지 올라가는 구조입니다. 4점대 12문항은 다항식 계산·근과 계수의 관계·복소수 계산처럼 정확도가 점수이므로 시간 안에 실수 없이 푸는 연습이 먼저입니다. 5점대에서는 인수분해와 나머지정리를 정수 조건으로 연결하는 문항(18번), 나누어떨어짐 조건을 경우로 나누는 문항(17번), 판별식으로 접점을 찾고 넓이 조건을 쓰는 문항(16번)이 핵심이니, ‘나누어떨어진다 → 대입하면 0’, ‘접한다 → 판별식 0’처럼 조건을 식으로 바꾸는 틀을 정리해 두세요. 논술형 15점은 켤레복소수 계산(4점), 다항식 나눗셈의 차수 판단(5점), 근과 계수의 관계와 판별식으로 실수 k를 정하는 과정(6점)으로 성격이 서로 다르므로, 각각 식을 세운 근거와 경우 구분을 한 줄씩 적는 연습이 필요합니다.
제공받은 시험지 6쪽과 학교 배점표 1쪽(학생 필기가 없는 시험지)을 하남EDU 편집부가 직접 보고 문항 구성·배점·출제 개념·난도를 정리했습니다. 학생 이름·점수·답안과 풀이는 싣지 않습니다. 시험지에 미사고등학교 저작권 안내가 있어 문항 원문·그림·정답은 싣지 않습니다. 공식 평균점수·정답률·학교 채점 기준은 확인되지 않았고, 난도는 시험지 구조 기준의 편집부 평가입니다. 학교의 공식 자료가 아닙니다.
원본 시험지는 공개·판매·다운로드되지 않습니다. 이 페이지는 문항 번호·핵심 개념·배점·난도만 정리한 분석정보이며 문항 전문과 시험지 이미지는 싣지 않습니다. 학교의 공식 자료가 아닙니다.
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