2024 미사고등학교 1학년 수학 · 1학기 기말 시험지 분석

문항·배점 구성

시험지 6쪽, 선다형 18문항 85점 + 논술형 3문항 15점, 총 100점. 선다형 배점은 4 · 4.2 · 4.2 · 4.4 · 4.4 · 4.4 · 4.6 · 4.6 · 4.6 · 4.8 · 4.8 · 4.8 · 5 · 5 · 5 · 5.2 · 5.4 · 5.6점으로 1번부터 18번까지 커지고, 논술형은 1번 4점 · 2번 5점 · 3번 6점입니다(시험지에 인쇄된 배점 합산). 단원별로는 여러 가지 방정식 26.2점(1·4·6·7·10번 + 논술형 1), 직선의 방정식 19.6점(3·11·15·18번), 여러 가지 부등식 19.2점(5·8·14·16번), 평면좌표 19점(2·12·13번 + 논술형 2), 이차함수의 최대·최소 16점(9·17번 + 논술형 3)입니다.

난이도

시험지 6쪽 전체를 기준으로 본 전체 난도는 중상, 고득점 난도는 상입니다. 선다형 18문항의 배점이 1번 4점에서 18번 5.6점까지 번호 순으로 올라가는 구조는 같은 학기 중간과 같습니다. 1~3번(4~4.2점)은 사차방정식 실근의 곱, 내분점, 수직인 직선의 y절편처럼 한 번에 끝나고, 4~9번(4.4~4.6점)은 인수분해되는 연립이차방정식, f(2x−8)≤0의 정수해, 실근과 허근을 함께 갖는 삼차방정식, 허근 1−i와 나머지정리, 이차부등식의 해로 계수 관계 찾기, 제한된 범위의 이차함수 최솟값으로 한 단계씩 길어집니다. 10~12번(4.8점)은 x³+1=0의 허근 ω의 거듭제곱 주기(10번), 두 직선의 수직·정점·평행 보기(11번), 각의 이등분선 성질로 내분점 찾기(12번)이고, 13~18번(5~5.6점)은 내분·외분 두 경우의 점과 무게중심(13번), 두 포물선 사이에 끼는 직선(14번), 등변사다리꼴 조건과 기울기(15번), 매개변수 n이 들어간 연립이차부등식의 정수해 개수(16번), 135° 벽면을 낀 울타리 넓이의 최대(17번), 직선 위 두 점과 수선의 발로 만든 넓이·수직이등분선(18번)처럼 도형 조건이 길게 이어집니다. 논술형은 연립이차방정식(1번, 4점), 직선 위의 점과 거리(2번, 5점), 꼭짓점 위치에 따른 이차함수의 최솟값과 식의 최댓값(3번, 6점)입니다. 공식 평균점수·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.

문항별 핵심 개념

시험의 주요 특징

① 여러 가지 방정식(1·4·6·7·10번, 논술형 1) — x⁴+x³+2x−4=0의 모든 실근의 곱(1번), x²+y²=10과 x²+2xy−3y²=0의 해로 α+β의 최솟값(4번), x³+kx²−2kx−8=0이 실근과 허근을 모두 가질 때 정수 k의 최솟값과 최댓값의 합(6번), 1−i가 근이고 x+2로 나눈 나머지가 5인 삼차식에서 2a−b+c(7번), x³+1=0의 허근 ω로 ω⁶ⁿ+(ω−1)⁶ⁿ⁺¹−ωⁿ=0을 만족하는 40 이하 자연수 n의 개수(10번). 논술형 1번은 일차식과 이차식으로 된 연립방정식 x+2y=1, x²−3y²=6의 해를 모두 구하는 과정을 씁니다. ② 여러 가지 부등식(5·8·14·16번) — f(x)<0의 해가 −3<x<2일 때 f(2x−8)≤0의 정수 x의 개수(5번), ax²+bx+c>0의 해가 2−√3<x<2+√3일 때 cx²+bx+4a≥0의 해(8번), 모든 실수 x에 대해 g(x)≤ax+b≤f(x)가 성립할 때 a−b(14번), x²≥(n+2)x와 x²−2nx−4(n+1)<0을 함께 만족하는 정수 x의 개수 f(n)으로 {f(n)}²>200인 n의 최솟값(16번). ③ 이차함수의 최대·최소(9·17번, 논술형 3) — 1≤x≤4에서 x²+2x+k−5의 최솟값이 2일 때 M−k(9번), 135°로 꺾인 벽면과 300m 철망으로 직사각형 A와 사다리꼴 B를 만들고 A의 넓이가 B의 2배일 때 B의 넓이의 최댓값(17번). 논술형 3번은 0≤x≤3에서 f(x)=(x−a)²+b의 최솟값이 3일 때 2a+b의 최댓값을 과정과 함께 씁니다. ④ 평면좌표(2·12·13번, 논술형 2) — AB를 2:1로 내분하는 점이 (2,5)일 때 a+b(2번), P(3√3,5)·Q(2√3,1)에서 ∠POQ의 이등분선과 PQ의 교점 R, 직선 OR이 (6,a)를 지날 때 a(12번), 직선 AB 위에서 AB=(3/2)BC인 두 점 C₁·C₂와 P(4,10)로 만든 삼각형의 무게중심(13번). 논술형 2번은 직선 3x−2y=11 위에서 A(2,0)·B(0,−1)까지의 거리가 같은 점 P를 구하는 과정을 씁니다. ⑤ 직선의 방정식(3·11·15·18번) — 두 점을 지나는 직선과 수직이고 x절편이 3인 직선의 y절편(3번), 두 직선 kx+(k+6)y+5=0과 3x+ky+2k+1=0의 수직·정점·평행에 대한 보기(11번), A(0,2)·B(0,5)·C(−2√5,a)·D(−3√5,b)에서 CD의 기울기가 양수이고 AB=CD·AD∥BC일 때 AD의 기울기(15번), 직선 y=2x 위 제1·3사분면의 두 점(OB=2OA)과 두 수선의 발로 만든 삼각형 OPH 넓이 14에서 OP의 수직이등분선이 (10,k)를 지날 때 k(18번). 채점 기준은 공개되지 않았습니다.

상대적으로 변별력이 높은 문항

5점 이상 6문항과 논술형 3번이 변별 구간입니다. 18번(5.6점)은 A(t,2t)·B(−2t,−4t)로 두 점을 한 문자로 놓고, 수선의 발 H·L과 두 직선 AL·BH의 교점 P를 차례로 구한 뒤 넓이 14로 t를 정하고, 다시 OP의 수직이등분선을 세우는 단계가 네 번 이어집니다. 16번(5.2점)은 첫 부등식의 해가 n에 따라 x≤0 또는 x≥n+2로 나뉘고 둘째 부등식의 해는 −2<x<2n+2이므로, 두 범위가 겹치는 정수의 개수를 n의 식으로 세워야 하며 경계값 포함 여부에서 하나씩 어긋나기 쉽습니다. 17번(5.4점)은 135° 벽면 때문에 B가 직각사다리꼴이 되어 윗변과 아랫변의 차가 높이와 같아진다는 것을 그림에서 읽어야 이차함수 최대 문제로 바뀝니다. 15번(5점)은 AB=CD로 길이 조건, AD∥BC로 기울기 조건을 세우면 두 쌍의 해가 나오는데, ‘CD의 기울기가 양수’라는 조건 (가)로 평행사변형이 되는 경우를 걸러야 합니다. 14번은 직선이 두 포물선 사이에 끼려면 두 판별식이 모두 0 이하여야 한다는 것을 동시에 써야 하고, 13번은 C가 선분 AB 밖과 안 두 곳에 생기는 경우를 모두 잡아야 합니다. 10번(4.8점)은 ω³=−1과 ω−1=ω²에서 거듭제곱이 주기적으로 반복된다는 것을 찾아 n을 나머지별로 세는 문항입니다. 논술형 3번(6점)은 꼭짓점의 x좌표 a가 0보다 작을 때, 0과 3 사이일 때, 3보다 클 때로 나눠 최솟값 식을 각각 세우고 2a+b의 최댓값을 비교해야 해 경우 구분 서술이 핵심입니다.

학부모가 알아야 할 점

배점이 번호 순으로 커지는 시험이라 4점대 12문항을 실수 없이 지키는 것이 기본이고, 5점대 6문항과 논술형 3번에서 점수가 갈립니다. 13·15·18번은 점의 위치나 도형 조건을 좌표로 옮기고 경우를 걸러야 하는 문항, 14·16번은 판별식과 부등식의 해를 겹쳐 읽어야 하는 문항, 17번은 그림의 조건을 이차함수로 바꾸는 활용 문항입니다. 해당 문항을 틀렸다면 관련 개념의 이해, 조건 해석, 계산 과정, 시간 부족 중 어디에서 어려움이 있었는지 풀이를 보며 점검할 필요가 있습니다. 논술형은 총 15점입니다. 논술형 1번은 일차식과 이차식으로 된 연립방정식의 해를 모두 구하는 4점 문제, 2번은 직선 위에서 두 점까지 거리가 같은 점을 구하는 5점 문제, 3번은 꼭짓점 위치에 따라 최솟값이 달라지는 이차함수에서 2a+b의 최댓값을 구하는 6점 문제입니다. 따라서 대입과 인수분해 과정, 거리 공식을 세운 근거, 경우를 나눈 이유를 각각 빠짐없이 서술하는 연습이 필요합니다.

다음 시험 대비 — 이번 시험에서 중요했던 학습 포인트

미사고 1학년 1학기 기말은 수학(상)의 여러 가지 방정식·부등식·이차함수의 최대최소에 도형의 방정식 앞부분인 평면좌표·직선의 방정식(38.6점)까지 범위였습니다. 중간과 같이 배점이 번호 순으로 올라가므로 4점대 12문항은 정확도로 지키고, 5점대 6문항에서 도형 조건을 끝까지 식으로 옮기는 힘이 점수를 가릅니다. 방정식 단원은 조립제법으로 인수를 찾는 고차방정식, ω의 성질(ω³=−1, ω²−ω+1=0), 인수분해되는 연립이차방정식을 기본으로 정리하세요. 부등식은 매개변수가 들어간 연립이차부등식의 정수해 개수(16번)와 판별식을 두 번 쓰는 14번 유형이 5점대로 나왔고, 평면좌표·직선은 각의 이등분선 성질(12번), 내분·외분 두 경우(13번), 사다리꼴 조건의 경우 거르기(15번), 수직이등분선(18번)처럼 조건이 여러 개 겹치는 문항이 많습니다. 논술형은 연립방정식의 대입 과정(4점), 거리 공식으로 점을 정하는 과정(5점), 꼭짓점 위치에 따른 경우 구분(6점)으로 성격이 다르므로 각 단계의 근거를 한 줄씩 적는 연습이 필요합니다.

자주 묻는 질문

2024 미사고1 1학기 기말 수학 시험은 어떻게 구성됐나?

2024년 6월 28일 시행. 선다형 18문항 85점(4~5.6점, 번호 순으로 증가)과 논술형 3문항 15점(4·5·6점), 총 100점입니다. 단원별로는 여러 가지 방정식 26.2점, 직선의 방정식 19.6점, 여러 가지 부등식 19.2점, 평면좌표 19점, 이차함수의 최대·최소 16점입니다.

난이도는 어느 정도였나?

전체 난도 중상, 고득점 난도 상입니다. 4점대 12문항은 공식 적용 위주이고, 5점대 6문항에 도형 조건을 여러 번 식으로 옮기는 문항이 몰려 있습니다. 공식 평균·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.

풀이가 길어진 문항은?

18번(직선 위 두 점·수선의 발·넓이·수직이등분선), 16번(매개변수가 있는 연립이차부등식의 정수해 개수), 17번(135° 벽면 울타리 넓이 최대), 15번(사다리꼴 조건으로 경우 거르기), 논술형 3번(꼭짓점 위치에 따른 경우 구분)입니다.

시험 구조에서 눈에 띄는 점은?

같은 학기 중간과 배점 구조(선다형 4~5.6점 번호 순, 논술형 4·5·6점)가 똑같습니다. 기말 범위에 평면좌표와 직선의 방정식이 38.6점으로 크게 들어갔고, 5점대 6문항 중 4문항이 좌표·직선 또는 도형 활용 문항입니다.