2025학년도 2학기 중간에 치른 하남고등학교 2학년 수학Ⅱ 시험은 선택형 17문항 70점, 단답형 4문항 20점, 서술형 2문항 10점으로, 미분계수와 도함수 42.2점·함수의 극한 25.3점·함수의 연속 22.5점·접선 10점이 범위였습니다. 선택형 배점이 3.4점부터 4.9점까지 번호순으로 매겨져 있고, 원과 직선의 교점 개수 함수(16번), 부호 함수와 로그 그래프(20번), 구간별 함수의 평균변화율(17번), 곱의 미분가능(15번)과 단답형·서술형이 변별하는 중상 난도(고득점 상)의 시험입니다.
분석 게재 2026.10.12
자료의 문항별 배점을 합산했습니다(단위: 점). 미분계수와 도함수 42.2 · 극한 25.3 · 연속 22.5 · 접선 10.
선택형 배점이 0.1점 단위로 달라 구간으로 묶었습니다. 선택형 17 + 단답형 4 + 서술형 2 = 23문항 기준.
선택형 17문항 70점 + 단답형 4문항 20점 + 서술형 2문항 10점, 총점 100점. 선택형 배점은 3.4점(4문항)·3.6점(2)·3.8점(1)·4.2점(3)·4.4점(2)·4.7점(2)·4.8점(1)·4.9점(2)으로 번호순 상승이며, 단답형 18~21번은 각 5점, 서술형 22번은 (1) 3점·(2) 1점·(3) 1점, 23번은 (1) 4점·(2) 1점으로 나뉩니다. 단원별로는 미분계수와 도함수 42.2점(2·5·6·7·8·9·13·15·17·19번), 함수의 극한 25.3점(1·4·10·12·16·20번), 함수의 연속 22.5점(3·11·14·21·23번), 접선의 방정식 10점(18·22번)입니다.
자료에 실린 23문항 전체를 기준으로 본 전체 난도는 중상, 고득점 난도는 상입니다. 선택형 17문항의 배점이 3.4점부터 4.9점까지 번호순으로 올라가 번호가 곧 난도 순서표인데, 1~7번(3.4~3.8점)은 극한 계산·평균변화율·연속 조건·접선 기울기·곱의 미분처럼 정의를 한 번 적용하면 끝나고, 8~12번(4.2~4.4점)은 부등식으로 미분계수를 끌어내거나(8번) 미분가능성을 판단하거나(9번) 그래프에서 좌·우극한을 읽는(10번) 판단형입니다. 13~17번(4.7~4.9점)은 접선과 원점 사이 거리의 극한(13번), 사잇값 정리로 실근 개수(14번), 삼차함수와 유리함수 곱의 미분가능(15번), 원과 직선의 교점 개수 함수의 좌·우극한(16번), 구간별 함수의 평균변화율 보기(17번)로 조건을 식으로 번역하는 단계가 둘 이상입니다. 단답형 4문항(각 5점)은 접선으로 둘러싸인 넓이(18번), 미분가능 조건의 k(19번), 부호 함수와 로그 그래프 교점 5개(20번), 사잇값과 연속 조건(21번)으로 선택형 상위와 같은 수준이고, 서술형 2문항(각 5점)은 공통접선(22번)과 다항함수 극한·연속(23번)입니다. 공식 평균점수·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.
| 문항 | 핵심 개념 | 성격 | 분석 난도 |
|---|---|---|---|
| 1 | (x²+2x−8)/(x+4)의 x→−4 극한 (3.4점) | 극한 · 계산 | 하 |
| 2 | y=3x에서 0→2의 평균변화율 (3.4점) | 미분 · 평균변화율 | 하 |
| 3 | 유리함수가 실수 전체에서 연속이 되는 정수 a의 개수 (3.4점) | 연속 · 조건 | 하 |
| 4 | 7x+4≤f(x)≤7x+5로 f(x)/x의 극한 (3.4점) | 극한 · 대소 관계 | 하 |
| 5 | y=3x² 위의 점 (2,12)에서의 접선 기울기 (3.6점) | 미분 · 접선 기울기 | 하 |
| 6 | 두 극한 조건으로 h=fg의 h′(0) (3.6점) | 미분 · 곱의 미분 | 하 |
| 7 | lim n{Σf(1+k/n)−8f(1)}=108을 미분계수로 바꿔 a (3.8점) | 미분 · 정의 | 중 |
| 8 | |f(2x)−f(x)|≤x²에서 f′(0) (4.2점) | 미분 · 부등식 조건 | 중 |
| 9 | |x|, x|x|, |x|+x 중 x=0에서 연속이지만 미분불가인 것 (4.2점) | 미분가능성 · 판단 | 중 |
| 10 | 두 그래프에서 곱·합·합성의 좌·우극한 판단 (4.2점) | 극한 · 그래프 보기 | 중 |
| 11 | |x²−4x−12|와 y=t의 교점 개수 f(t)에 g(t)를 곱해 연속, f(10)+|g(10)| (4.4점) | 연속 · 교점 개수 함수 | 중상 |
| 12 | t→−∞ 극한으로 정의된 f(x)의 [−3,3] 최댓값+최솟값 (4.4점) | 극한 · 정의된 함수 | 중 |
| 13 | y=x² 위의 점 (t,t²)의 접선과 원점 사이 거리 f(t)로 lim f(t)/t (4.7점) | 접선 · 거리의 극한 | 중상 |
| 14 | 두 극한 조건으로 [2,3]에서 f(x)=0의 실근이 적어도 n개 (4.7점) | 연속 · 사잇값 정리 | 중상 |
| 15 | 삼차함수 f와 유리함수 g의 곱이 미분가능, h′(2)=5로 f(3) (4.8점) | 미분가능성 · 곱 | 상 |
| 16 | 원 x²+y²=1과 직선 ax+(a+1)y=a−1의 교점 개수 f(a)의 좌·우극한 비교, p−q (4.9점) | 극한 · 교점 개수 | 상 |
| 17 | 세 구간 함수 f의 0→t 평균변화율 g(t)에 대한 보기 판단 (4.9점) | 미분 · 평균변화율 보기 | 상 |
| 단답 18 | f=x³/3−kx²+1의 기울기 3k² 접선과 수평 접선으로 둘러싸인 넓이 128, k⁴ (5점) | 접선 · 넓이 | 상 |
| 단답 19 | g(x)가 x<k에서 f, x≥k에서 f(2k−x)일 때 미분가능한 k의 합 8·곱 0, f(1)−f(2) (5점) | 미분가능성 · 대칭 | 상 |
| 단답 20 | |f(t)|/f(t)의 좌·우극한 차 g(x)와 −4|log₃(x/3)|+2의 교점 5개로 k (5점) | 극한 · 부호 함수 | 상 |
| 단답 21 | f(x)=0이 (1,3)에서 실근, f(x)g(x)가 x=a에서 연속인 a의 합 (5점) | 연속 · 사잇값 | 중상 |
| 서술 22 | y=x³−x와 y=−x²+1의 공통접선에서 a(3점)·기울기(1점)·y절편(1점) | 접선 · 공통접선 서술 | 중상 |
| 서술 23 | g(x)={f(x)−x²}/(x−2)가 연속, lim g=3으로 f(3)(4점)·k(1점) | 극한·연속 서술 | 중 |
① 함수의 극한(1·4·10·12·16·20번) — 인수분해 극한(1번), 7x+4≤f(x)≤7x+5로 f(x)/x의 극한(4번)은 기본형이고, 10번은 두 그래프에서 f(x)g(x)·f(x)+g(−x)·f(x+1)g(1−x)의 좌·우극한을 보기에서 판단합니다. 12번은 t→−∞일 때의 극한으로 정의된 함수 f(x)의 최댓값과 최솟값, 16번은 원 x²+y²=1과 직선 ax+(a+1)y=a−1의 교점 개수 f(a)가 좌극한보다 우극한이 큰 c와 작은 c를 찾는 문제, 단답형 20번은 |f(t)|/f(t)의 좌·우극한 차로 만든 g(x)와 로그 그래프의 교점이 5개가 되는 k입니다. ② 함수의 연속(3·11·14·21·23번) — 분모가 0이 되지 않을 정수 a의 개수(3번), |x²−4x−12|와 직선 y=t의 교점 개수 f(t)에 이차함수를 곱해 연속으로 만드는 11번, lim f(x)/(x−2)=1·lim f(x)/(x−3)=2로 [2,3]에서 실근이 적어도 몇 개인지(14번, 사잇값 정리), 단답형 21번은 f(x)=0이 (1,3)에서 실근을 갖고 f(x)g(x)가 x=a에서 연속인 a의 합, 서술형 23번은 g(x)가 연속이고 lim g(x)=3일 때 f(3)과 k를 구합니다. ③ 미분계수와 도함수(2·5·6·7·8·9·13·15·17·19번) — 평균변화율(2번), 접선 기울기(5번), h'(0)(6번)은 공식형, 7번은 lim n{Σf(1+k/n)−8f(1)}=108을 미분계수의 정의로 바꾸고, 8번은 |f(2x)−f(x)|≤x²에서 f'(0)을, 9번은 |x|·x|x|·|x|+x 중 x=0에서 연속이지만 미분불가인 것을 고릅니다. 13번은 y=x² 위의 점에서의 접선과 원점 사이 거리 f(t)로 lim f(t)/t, 15번은 삼차함수 f와 유리함수 g의 곱이 미분가능하고 h'(2)=5일 때 f(3), 17번은 세 구간으로 나뉜 f의 평균변화율 g(t)에 대한 보기 판단, 단답형 19번은 g(x)가 x<k에서 f(x), x≥k에서 f(2k−x)일 때 미분가능하게 하는 k의 합·곱 조건으로 f(1)−f(2)를 구합니다. ④ 접선의 방정식(18·22번) — 단답형 18번은 f(x)=x³/3−kx²+1 위의 두 점에서 기울기가 3k²인 접선과 x축에 평행한 두 접선으로 둘러싸인 넓이 128로 k⁴, 서술형 22번은 y=x³−x와 y=−x²+1의 공통접선에서 a·기울기·y절편을 단계별로 서술합니다. 채점 기준은 공개되지 않았습니다.
4.7점 이상 5문항과 단답형 전부, 서술형 22번이 변별 구간입니다. 16번(4.9점)은 직선 ax+(a+1)y=a−1이 a에 관계없이 지나는 정점을 먼저 찾고, a가 변할 때 원과의 교점 개수가 0·1·2로 바뀌는 순간을 좌·우극한으로 비교해야 하므로 ‘접할 때 교점 1개’를 극한의 불연속점으로 읽는 눈이 필요합니다. 20번(5점)은 |f(t)|/f(t)가 f의 부호에 따라 ±1이므로 g(x)가 f(x)의 부호가 바뀌는 점에서만 0이 아닌 값을 갖는다는 것을 알아야 시작되고, 그 다음 로그 그래프와의 교점 5개 조건으로 k를 정하는 두 단계라 가장 길어집니다. 17번(4.9점)은 g(t)가 세 구간에서 식이 달라 a=−1일 때 g(1), 최댓값 조건, g(k)=g(k+1)=g(k+2) 조건을 각각 확인해야 하고, 15번(4.8점)은 h(x)=f(x)g(x)가 x=2에서 미분가능하려면 f(2)=0이고 f(x)/(x−2)의 x=2에서의 값과 도함수가 조건을 만족해야 한다는 것을 식으로 세워야 합니다. 13번은 접선 tx·2−y−t²=0과 원점 사이 거리를 t로 쓴 뒤 t→∞ 극한을 취하는 계산 문제라 식만 정확하면 풀리지만 분모 유리화에서 실수가 납니다. 서술형 22번은 두 곡선이 같은 점에서 같은 기울기를 가질 조건 두 개를 연립해 a를 구하는 첫 단계(3점)가 전체를 결정합니다.
번호가 곧 난도인 시험이라 ‘몇 번부터 틀렸는가’가 아이의 현재 위치입니다. 7번까지는 정의 적용, 12번까지는 판단형, 그 뒤는 조건을 식으로 번역하는 종합형이라 공식 암기로는 넘어가지 못합니다. 하남고는 교점 개수 함수와 부호 함수 유형을 2년 연속 냈으므로, 아이가 그래프를 직접 그려 가며 극한을 읽는지 봐 주세요. 단답형 4문항이 모두 5점이라 시간 배분을 어떻게 했는지도 함께 물어봐 주세요.
하남고 수학Ⅱ 중간은 번호가 곧 난도이므로 ‘몇 번까지 안정적으로 맞히는가’로 현재 위치를 재면 됩니다. 1~7번은 극한 계산·연속 조건·미분계수의 정의를 공식처럼 꺼내는 구간이라 속도가 점수이고, 8~12번은 부등식·그래프·보기 판단이므로 lim 기호 아래 x→a⁺와 a⁻를 따로 적는 습관이 필요합니다. 13번 이후는 ‘조건을 식으로 번역’하는 문제라, 교점 개수 함수(11·16번), 부호 함수(20번), 구간별 함수의 미분가능(15·19·23번)처럼 하남고가 2년 연속 낸 유형을 그래프를 직접 그리며 연습해 두세요. 단답형 4문항이 모두 5점이고 선택형 상위 수준이므로 시간 배분이 중요하고, 서술형은 공통접선·연속 조건을 ‘두 조건 연립’으로 적는 틀을 외워 두면 부분 점수를 확보합니다.
제공받은 기출 자료(문항·배점·정답표가 실린 재구성본, 2015 개정 교육과정 기준)를 하남EDU 편집부가 직접 보고 문항 구성·배점·출제 개념·난도를 정리했습니다. 원본 시험지의 쪽수·시행일·서술형 채점 기준은 자료에 없어 확인되지 않았습니다. 시험 문항은 하남고등학교 저작물이므로 문항 원문·그림·정답은 싣지 않습니다. 공식 평균점수·정답률은 확인되지 않았고, 난도는 문항 구조 기준의 편집부 평가입니다. 학교의 공식 자료가 아닙니다.
원본 시험지는 공개·판매·다운로드되지 않습니다. 이 페이지는 문항 번호·핵심 개념·배점·난도만 정리한 분석정보이며 문항 전문과 시험지 이미지는 싣지 않습니다. 학교의 공식 자료가 아닙니다.
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