2024년 7월 4일 치른 하남고등학교 3학년 1학기 기말 미적분 시험은 선택형 14문항 63점과 단답형 6문항 37점으로, 미적분 내용 66.1점(여러 가지 적분법 28.8·정적분의 활용 27.8·미분법 9.5)과 수학Ⅱ 내용 33.9점이 함께 출제됐습니다. 단답형이 모두 계산 과정 없이 답만 쓰는 형식이고, 부분적분과 함수 조건(14번), x⁴lnx 그래프의 실근 개수(12번), 유리함수 정적분(단답형 3번), 사이클로이드의 넓이·회전체 부피(단답형 5·6번)가 변별하는 중상 난도(고득점 상)의 시험입니다.
시험일 2024.07.04 · 분석 게재 2026.10.18
시험지와 학교 문항정보표의 문항별 배점을 합산했습니다(단위: 점). 미적분 내용 66.1 · 수학Ⅱ 내용 33.9.
선택형 14 + 단답형 6 = 20문항 기준. 서술·논술형은 없습니다.
시험지 6쪽, 선택형 14문항 63점 + 단답형 6문항 37점, 총 100점(서술·논술형 없음). 선택형 배점은 4.1점(1·2번)·4.2점(3·4번)·4.3점(5~7번)·4.4점(8·9번)·4.5점(10번)·4.6점(11번)·5.1점(12번)·5.3점(13번)·5.2점(14번)이고, 단답형은 1번 5점·2번 7점·3번 7점·4번 5점·5번 6점·6번 7점입니다. 함께 제공된 학교 문항정보표·단답형 채점기준표에 따르면 단답형 1번은 동치인 여러 표현을 정답으로 인정하고, 단답형 4번은 f(θ)·g(θ)·호의 길이 세 가지를 모두 써야 점수가 있습니다. 단원별로는 수학Ⅱ 내용 33.9점(적분 13 · 극한·연속 12.4 · 미분 8.5), 미적분 내용 66.1점(여러 가지 적분법 28.8 · 정적분의 활용 27.8 · 미분법·도함수의 활용 9.5)입니다.
시험지 6쪽 전체를 기준으로 본 전체 난도는 중상, 고득점 난도는 상입니다. 선택형 14문항의 배점이 4.1점부터 5.3점까지 번호순으로 오르는데(13번 5.3점, 14번 5.2점), 1~8번(4.1~4.4점)은 무리식 극한, 부등식으로 정한 극한, 1/f의 연속, 구간별 함수의 미분가능, 속도와 거리, 대칭으로 이어 붙인 함수의 미분가능, 두 곡선 사이 넓이, 절댓값 정적분처럼 수학Ⅱ 내용이고, 9번부터가 미적분입니다. 9~14번은 tan2x의 역함수 미분(9번), 정적분과 급수(10번), 정적분으로 정의된 함수의 최댓값(11번), x⁴lnx 그래프로 실근 개수(12번), 단면이 정사각형인 입체의 부피(13번), ln f로 정의된 함수와 부분적분(14번)입니다. 단답형 6문항(37점)은 계산 과정 없이 답만 쓰는 형식으로 ∫cscx dx(1번), sin⁴x의 적분(2번), 유리함수 정적분(3번), 사이클로이드의 매개변수 표현과 호의 길이(4번)·넓이(5번)·회전체 부피(6번)로 이어져, 적분 계산 정확도가 점수의 큰 몫을 차지합니다. 공식 평균점수·정답률은 확인되지 않았습니다.
| 문항 | 핵심 개념 | 성격 | 분석 난도 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1/(√(x²+4x)−x)의 x→∞ 극한 (4.1점) | 수학Ⅱ · 함수의 극한 | 하 |
| 2 | 2x²≤xf(x)+1≤2(x²+1)일 때 (|2cosπx|+f(x))/x의 극한 (4.1점) | 수학Ⅱ · 극한의 대소 관계 | 중하 |
| 3 | 유리함수 f에 대해 1/f(x)가 실수 전체에서 연속인 정수 a의 개수 (4.2점) | 수학Ⅱ · 함수의 연속 | 중 |
| 4 | 세 구간 함수가 모든 실수에서 미분가능할 때 a²+b²+c² (4.2점) | 수학Ⅱ · 미분가능성 | 중하 |
| 5 | 두 점의 속도로 거리 f(t)의 증감을 찾고 t=a~b에서 Q가 움직인 거리 (4.3점) | 수학Ⅱ · 속도와 거리 | 중 |
| 6 | x≥k에서 f(x), x<k에서 f(2k−x)인 g가 미분가능한 k의 합 (4.3점) | 수학Ⅱ · 대칭과 미분가능 | 중상 |
| 7 | y=x(x+1)(x−1)과 y=x(x+1)로 둘러싸인 x≥0 부분의 넓이 (4.3점) | 수학Ⅱ · 두 곡선 사이 넓이 | 중 |
| 8 | f=a(x³−x), ∫₋₁¹|f|dx=2∫₁ᵏf dx인 k (4.4점) | 수학Ⅱ · 절댓값 정적분 | 중 |
| 9 | (−π/4, π/4)에서 tan2x의 역함수 g로 100g′(1) (4.4점) | 미분법 · 역함수의 미분 | 중 |
| 10 | lim Σk/(2n−k)²를 정적분으로 바꿔 계산 (4.5점) | 정적분과 급수 | 중 |
| 11 | f(x)=∫₁ˣ(n−ln t)/t dt의 최댓값 g(n)의 합 (4.6점) | 정적분으로 정의된 함수 · 최댓값 | 중 |
| 12 | f=x⁴lnx, g=f(|x|)에서 g(x)=k의 실근 개수 h(k)의 합 (5.1점) | 도함수의 활용 · 실근 개수 | 중상 |
| 13 | 밑면 곡선 y=√(tanx+tan⁴x), 단면이 정사각형인 입체의 부피 (5.3점) | 정적분의 활용 · 입체의 부피 | 중 |
| 14 | g=∫₀ˣln f(t)dt, x=1에서 극값 2, g′ 우함수 조건으로 ∫₋₁¹xf′/(2f)dx (5.2점) | 부분적분 · 조건 해석 | 상 |
| 단답 1 | ∫cscx dx를 적분상수 C로 나타내기 (5점) | 여러 가지 적분 · cscx | 중 |
| 단답 2 | ∫sin⁴x dx=px+q sin2x+r sin4x+C일 때 p+q+r (7점) | 삼각함수의 적분 · 배각 공식 | 중 |
| 단답 3 | ∫₋₁¹(2x³+4x²+11x+4)/(x²+2x+5)dx=½ln2+kπ의 k (7점) | 유리함수의 정적분 | 중상 |
| 단답 4 | 사이클로이드의 f(θ)·g(θ)와 0≤x≤4πr에서 호의 길이 (5점, 세 가지 모두 써야 득점) | 매개변수 · 곡선의 길이 | 중 |
| 단답 5 | 0≤x≤4πr에서 사이클로이드와 x축으로 둘러싸인 넓이 (6점) | 정적분의 활용 · 넓이 | 중상 |
| 단답 6 | 사이클로이드와 x축 사이 부분을 x축 둘레로 회전한 입체의 부피 (7점) | 정적분의 활용 · 회전체 부피 | 상 |
① 수학Ⅱ 극한·연속(1~3번) — 1/(√(x²+4x)−x)의 x→∞ 극한(1번), 2x²≤xf(x)+1≤2(x²+1)일 때 (|2cosπx|+f(x))/x의 극한(2번), 유리함수 f에 대해 1/f(x)가 실수 전체에서 연속이 되는 정수 a의 개수(3번). ② 수학Ⅱ 미분(4·6번) — 세 구간으로 정의된 함수가 모든 실수에서 미분가능할 때 a²+b²+c²(4번), 삼차함수 f로 x≥k에서 f(x), x<k에서 f(2k−x)인 g가 미분가능한 k의 합(6번). 6번은 2025년 하남고 2학년 2학기 중간 19번(x=k를 기준으로 f(2k−x)를 이어 붙인 함수의 미분가능)과 같은 구조입니다. ③ 수학Ⅱ 적분(5·7·8번) — 두 점의 속도 t²−6t+5, 2t−7로 두 점 사이 거리 f(t)의 증감 구간을 찾아 t=a~b에서 Q가 움직인 거리(5번), y=x(x+1)(x−1)과 y=x(x+1)로 둘러싸인 x≥0 부분의 넓이(7번), f(x)=a(x³−x)에서 ∫₋₁¹|f|dx=2∫₁ᵏf dx인 k(8번). ④ 미적분 미분법·도함수의 활용(9·12번) — (−π/4, π/4)에서 tan2x의 역함수 g로 100g′(1)(9번), f(x)=x⁴lnx와 g(x)=f(|x|)에서 g(x)=k의 실근 개수 h(k)로 h(1/e³)+h(0)+h(−1/e³)(12번). ⑤ 미적분 여러 가지 적분법(11·14번, 단답형 1~3) — f(x)=∫₁ˣ(n−ln t)/t dt의 최댓값 g(n)의 합(11번), g(x)=∫₀ˣln f(t)dt가 x=1에서 극값 2를 갖고 g′(−x)=g′(x)일 때 ∫₋₁¹xf′(x)/(2f(x))dx(14번). 단답형 1번은 ∫cscx dx, 2번은 ∫sin⁴x dx=px+q sin2x+r sin4x+C의 p+q+r, 3번은 ∫₋₁¹(2x³+4x²+11x+4)/(x²+2x+5)dx=½ln2+kπ의 k입니다. ⑥ 미적분 정적분의 활용(10·13번, 단답형 4~6) — lim Σk/(2n−k)²를 정적분으로 바꾼 값(10번), 곡선 y=√(tanx+tan⁴x)와 x축·x=π/3으로 둘러싸인 밑면 위에 단면이 정사각형인 입체의 부피(13번). 단답형 4~6번은 반지름 r인 원이 굴러 만드는 사이클로이드(0≤x≤4πr)에서 매개변수 표현과 호의 길이(4번), x축과 둘러싸인 넓이(5번), x축 둘레로 회전한 입체의 부피(6번)를 차례로 묻습니다. 단답형은 계산 과정 없이 답만 씁니다.
14번(5.2점)·12번(5.1점)과 단답형 3·5·6번이 변별 구간입니다. 14번은 g′(x)=ln f(x)에서 g″(x)=f′(x)/f(x)를 읽어 적분식을 xg″(x)/2로 바꾸고, g′이 우함수라는 조건으로 적분 구간을 [0,1]로 접은 뒤 부분적분과 g(0)=0, x=1에서의 극값 조건을 모두 써야 하는 세 단계 문제입니다. 12번은 x⁴lnx의 도함수로 극솟값을 구하고 g(x)=f(|x|)가 y축 대칭임을 이용해 k 값마다 교점 개수를 세야 하며, k=0일 때 x=0이 정의되는지까지 따져야 합니다. 13번은 단면의 넓이가 tanx+tan⁴x이므로 tan⁴x=tan²x(sec²x−1) 꼴로 나눠 치환적분과 ∫tan²x dx를 각각 계산해야 합니다. 단답형 3번은 다항식 나눗셈 뒤 남은 (x+4)/(x²+2x+5)를 로그 부분과 π가 나오는 부분으로 나눠야 해 계산이 길고, 단답형 5·6번은 사이클로이드의 매개변수 표현으로 넓이 ∫y dx와 회전체 부피 ∫πy² dx를 θ에 대한 적분으로 바꾼 뒤 삼각함수 거듭제곱을 적분해야 합니다. 6번(4.3점)은 x=k의 좌우에서 미분계수가 같아지는 조건을 f′(k)=−f′(k)로 읽어야 해 배점에 비해 생각할 것이 많습니다.
이 시험은 1~8번이 수학Ⅱ, 9번 이후와 단답형이 미적분이라 두 과목의 계산을 모두 정확히 해야 했습니다. 특히 단답형 6문항 37점은 풀이 과정 없이 답만 채점되므로, 적분 계산에서 부호나 계수 하나가 틀리면 그 문항 점수 전체가 영향을 받습니다. 해당 문항을 틀렸다면 관련 개념의 이해, 조건 해석, 계산 과정, 시간 부족 중 어디에서 어려움이 있었는지 풀이를 보며 점검할 필요가 있습니다. 서술·논술형은 없습니다. 단답형 1~3번은 각각 cscx의 부정적분, sin⁴x를 배각 공식으로 낮춘 적분, 유리함수를 나눗셈으로 나눈 정적분을 묻는 계산 문항이고, 단답형 4~6번은 같은 사이클로이드에서 매개변수 표현과 호의 길이(4번, 세 가지 모두 써야 득점), 넓이(5번), 회전체 부피(6번)를 차례로 묻는 문항이라 앞 문항의 식이 틀리면 뒤 문항까지 이어질 수 있습니다. 아이가 계산 순서를 어디서 놓쳤는지 문항별로 함께 확인해 주세요.
하남고 3학년 1학기 기말 미적분은 1~8번(33.9점)이 수학Ⅱ의 극한·미분·적분이었고, 9번 이후와 단답형이 미적분의 미분법·적분법·정적분의 활용이었습니다. 단답형 6문항 37점이 계산 과정 없이 답만 쓰는 형식이라, ∫cscx·∫sin⁴x(배각 공식)·유리함수 적분처럼 정형화된 적분을 실수 없이 끝까지 계산하는 연습이 점수와 바로 연결됩니다. 매개변수 곡선(사이클로이드)의 길이·넓이·회전체 부피가 한 묶음으로 18점이었으므로 매개변수로 나타낸 곡선에서 dx=x′(θ)dθ로 바꾸는 과정을 익혀 두세요. 선택형 상위는 정적분으로 정의된 함수와 부분적분(11·14번), 도함수로 그래프를 그려 실근 개수 세기(12번)였으니 함수의 대칭·극값을 그래프로 정리하는 습관이 필요합니다. 수학Ⅱ의 미분가능 조건(4·6번)과 넓이·정적분(7·8번)도 함께 복습해야 합니다.
제공받은 시험지 6쪽(채점 표시와 학생 풀이가 있는 시험지)과 학교 문항정보표·단답형 채점기준표 2쪽을 하남EDU 편집부가 직접 보고 문항 구성·배점·출제 개념·난도를 정리했습니다. 학생 이름·점수·답안과 풀이는 싣지 않습니다. 시험지에 하남고등학교 저작권 안내가 있어 문항 원문·그림·정답과 모범답안은 싣지 않습니다. 공식 평균점수·정답률은 확인되지 않았고, 난도는 시험지 구조 기준의 편집부 평가입니다. 단원 분류는 편집부 기준입니다. 학교의 공식 자료가 아닙니다.
원본 시험지는 공개·판매·다운로드되지 않습니다. 이 페이지는 문항 번호·핵심 개념·배점·난도만 정리한 분석정보이며 문항 전문과 시험지 이미지는 싣지 않습니다. 학교의 공식 자료가 아닙니다.
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