2024학년도 2학기 중간에 치른 하남고등학교 2학년 수학Ⅱ 시험은 선택형 17문항 70점, 단답형 4문항 20점, 서술형 2문항 10점으로, 함수의 극한 34.4점·함수의 연속 30.6점·미분계수와 도함수 22.5점·도함수의 활용 12.5점이 범위였습니다. 선택형 배점이 3.5점부터 4.9점까지 번호순으로 0.1점씩 오르며, 삼차식 조건의 연속함수(15번), 무리함수와 원의 접선 극한(16번), 최고차항 계수 결정(17번), 부호 함수와 로그 그래프(20번), 절댓값 함수와 삼차함수 곱의 미분가능(21번)에서 점수가 갈리는 중상 난도(고득점 상)의 시험입니다.
분석 게재 2026.10.12
자료의 문항별 배점을 합산했습니다(단위: 점). 극한 34.4 · 연속 30.6 · 미분계수와 도함수 22.5 · 도함수의 활용 12.5.
선택형 배점이 0.1점 단위로 달라 구간으로 묶었습니다. 선택형 17 + 단답형 4 + 서술형 2 = 23문항 기준.
선택형 17문항 70점 + 단답형 4문항 20점 + 서술형 2문항 10점, 총점 100점. 선택형 배점은 3.5점(3문항)에서 시작해 3.6·3.7·3.8·3.9·4.0·4.1·4.2·4.3·4.4·4.5·4.6·4.7·4.8·4.9점으로 한 문항씩 올라갑니다. 단답형 18~21번은 각 5점, 서술형 22·23번은 각 5점이며 소문항 (1)·(2)·(3)으로 나뉘어 (2) 1점·(3) 3점이 자료에 표시돼 있습니다. 단원별로는 함수의 극한 34.4점(1·5·7·9·13·16·17·20번), 함수의 연속 30.6점(2·6·10·12·15·19·22번), 미분계수와 도함수 22.5점(3·8·18·21·23번), 도함수의 활용 12.5점(4·11·14번)입니다.
자료에 실린 23문항 전체를 기준으로 본 전체 난도는 중상, 고득점 난도는 상입니다. 선택형 17문항의 배점이 3.5점부터 4.9점까지 0.1점씩 번호순으로 올라가고, 1~8번(3.5~4.0점)은 극한 계산·연속 상수·미분계수·롤의 정리·그래프 극한처럼 정의를 한 번 쓰면 풀립니다. 9~13번(4.1~4.5점)은 합성된 좌·우극한(9번), 사잇값 정리 증명 빈칸(10번), 두 접선의 접점을 잇는 직선(11번), 유리함수와 무리함수 조각의 연속(12번), 두 극한 조건으로 다항함수 결정(13번)으로 한 단계가 더 붙고, 14~17번(4.6~4.9점)은 접선 기울기 제한으로 f(4)의 최댓값(14번), 삼차식 조건을 만족하는 연속함수의 최대·최소(15번), 무리함수 위의 점과 원의 접선이 만드는 극한(16번), 최고차항 계수가 1이 아닌 다항함수의 극한 조건(17번)으로 식을 세우는 단계가 둘 이상입니다. 단답형 4문항(각 5점)은 함수방정식 미분(18번), 곱의 연속(19번), 부호 함수와 로그 그래프 교점(20번), 절댓값 함수와 삼차함수 곱의 미분가능(21번)이고, 서술형 2문항(각 5점)은 불연속점 개수 함수(22번)와 구간별 함수의 미분가능 조건(23번)으로 소문항 3개씩입니다. 공식 평균점수·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.
| 문항 | 핵심 개념 | 성격 | 분석 난도 |
|---|---|---|---|
| 1 | (x²+2x−8)/(x−2)의 x→2 극한 (3.5점) | 극한 · 계산 | 하 |
| 2 | x≠1에서 2x+10, x=1에서 a인 함수가 연속일 때 a (3.5점) | 연속 · 조건 | 하 |
| 3 | f=x²−3x−5의 f′(3) (3.5점) | 미분 · 미분계수 | 하 |
| 4 | f=x²−2x가 [0,2]에서 롤의 정리를 만족하는 c (3.6점) | 도함수 활용 · 롤의 정리 | 하 |
| 5 | 극한의 성질과 최대·최소 정리 보기 중 옳은 것의 개수 (3.7점) | 극한·연속 · 성질 판단 | 중 |
| 6 | 그래프 f와 이차함수 g의 곱이 연속일 때 g(2) (3.8점) | 연속 · 곱 | 중 |
| 7 | 두 그래프로 lim{kf(x)−g(x)}가 존재하는 k (3.9점) | 극한 · 존재 조건 | 중 |
| 8 | lim{f(x³)−f(8)}/(x−2)=24로 lim{f(8+2h)−f(8)}/h (4점) | 미분 · 정의 | 중 |
| 9 | 그래프에서 f(x+1)의 좌극한 + f(1−x)의 우극한 (4.1점) | 극한 · 그래프 합성 | 중 |
| 10 | 삼차방정식 세 실근 위치 증명의 빈칸 (가)(나)(다) (4.2점) | 연속 · 사잇값 정리 증명 | 중 |
| 11 | y=x+1 위의 점에서 y=x²에 그은 두 접선의 접점을 잇는 직선 기울기 4, a+b (4.3점) | 접선 · 접점의 직선 | 중상 |
| 12 | 이차함수 f와 √x−1 조각 g의 f/g가 양의 실수에서 연속일 때 b−a (4.4점) | 연속 · 조각 함수 | 중 |
| 13 | x√f(1/x)+2 극한과 f(x)/(x−1) 극한 7로 f(2) (4.5점) | 극한 · 다항함수 결정 | 중상 |
| 14 | (0,2)를 지나고 0<x<4에서 접선 기울기 ≤2인 다항함수의 f(4) 최댓값 (4.6점) | 도함수 활용 · 기울기 조건 | 중상 |
| 15 | {f}³+2{f}²−4x²f−8x²=0, 최댓값 0·최솟값 −2인 연속함수의 세 함숫값 합 (4.7점) | 연속 · 인수분해 조건 | 상 |
| 16 | y=√(2x) 위 P와 원점 중심 원의 접선이 x축과 만나는 Q로 lim S(t)/(OQ−PQ) (4.8점) | 극한 · 원의 접선 | 상 |
| 17 | 최고차항 계수≠1인 다항함수의 두 극한 조건으로 f′(0) (4.9점) | 극한 · 최고차항 결정 | 상 |
| 단답 18 | f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy−1, f′(0)=3으로 f′(2) (5점) | 미분 · 함수방정식 | 중 |
| 단답 19 | 세 구간 f와 삼차 g의 곱이 연속, f(x)g(x+k)도 연속인 k 존재, g(0)<0으로 g(2) (5점) | 연속 · 곱과 평행이동 | 중상 |
| 단답 20 | |f(t)|/f(t)의 좌·우극한 차 g(x)와 −4|log₂((x+1)/2)|+2의 교점 5개로 f(2)−f(4) (5점) | 극한 · 부호 함수 | 상 |
| 단답 21 | |2x+6|을 x≥0에서 축소한 g와 삼차 h의 곱이 미분가능, h′(0)=−3으로 h(k) (5점) | 미분가능성 · 절댓값 곱 | 상 |
| 서술 22 | (t−1,t+1)에서 f의 불연속점 개수 g(t)로 g(0)·좌우극한 합·g/f 연속 여부 | 연속 · 불연속점 개수 서술 | 중상 |
| 서술 23 | f=x³+(3/2)x²−6x를 세 구간에서 이어 붙인 g가 미분가능할 때 f′(a)·b·m+n | 미분가능성 · 조각 서술 | 상 |
① 함수의 극한(1·5·7·9·13·16·17·20번) — 인수분해 극한(1번), 극한의 성질과 최대·최소 정리 보기 다섯 개 중 옳은 것의 개수(5번), 두 그래프로 lim{kf(x)−g(x)}가 존재하는 k(7번), 그래프에서 f(x+1)의 좌극한과 f(1−x)의 우극한 합(9번), lim f(x)/(x−2)=1·lim f(x)/(x−3)=2 같은 두 극한 조건으로 다항함수를 결정해 f(2)(13번), y=√(2x) 위의 점 P와 원점을 중심으로 하는 원의 접선이 x축과 만나는 점 Q로 S(t)/(OQ−PQ)의 t→0⁺ 극한(16번), {f(x²)−{f(x+1)}²}/{x³f(x)}의 극한이 −2이고 f′(x)/(x−1)의 극한이 9인 다항함수의 f′(0)(17번). 단답형 20번은 |f(t)|/f(t)의 좌·우극한 차로 정의한 g(x)와 로그 그래프 y=−4|log₂((x+1)/2)|+2의 교점이 5개일 때 f(2)−f(4)입니다. ② 함수의 연속(2·6·10·12·15·19·22번) — 조각 함수의 연속 상수(2번), 그래프로 주어진 f와 이차함수 g의 곱이 연속일 때 g(2)(6번), 삼차방정식의 세 실근 위치를 사잇값 정리로 보이는 과정의 빈칸(10번), 이차함수와 √x−1 조각으로 만든 f/g가 양의 실수에서 연속일 조건(12번), {f(x)}³+2{f(x)}²−4x²f(x)−8x²=0을 만족하는 연속함수의 최댓값 0·최솟값 −2 조건으로 세 함숫값의 합(15번), 단답형 19번은 세 구간 함수 f와 삼차함수 g의 곱이 연속이고 f(x)g(x+k)도 연속이 되는 k가 존재할 때 g(2), 서술형 22번은 열린구간 (t−1,t+1)에서 불연속점의 개수 g(t)로 g(0)·좌우극한 합·g/f의 연속 여부를 서술합니다. ③ 미분계수와 도함수(3·8·18·21·23번) — f′(3)(3번), lim{f(x³)−f(8)}/(x−2)=24로 lim{f(8+2h)−f(8)}/h(8번), 단답형 18번은 f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy−1과 f′(0)=3으로 f′(2), 21번은 f=|2x+6|을 x≥0에서 축소한 g와 삼차함수 h의 곱이 미분가능하고 h′(0)=−3일 때 h(k), 서술형 23번은 f=x³+(3/2)x²−6x를 세 구간에서 f·m−f·n+f로 이어 붙인 g가 미분가능할 조건으로 f′(a)·b·m+n을 서술합니다. ④ 도함수의 활용(4·11·14번) — [0,2]에서 롤의 정리의 c(4번), y=x+1 위의 점 P에서 y=x²에 그은 두 접선의 접점을 잇는 직선의 기울기가 4일 때 a+b(11번), (0,2)를 지나고 0<x<4에서 접선 기울기가 2 이하인 다항함수의 f(4) 최댓값(14번). 채점 기준은 공개되지 않았습니다.
4.6점 이상 4문항과 단답형 20·21번, 서술형 23번이 변별 구간입니다. 15번(4.7점)은 주어진 식을 {f(x)+2}{f(x)²−4x²}=0으로 인수분해해 f(x)가 −2·2x·−2x 중 하나임을 본 뒤, 연속이면서 최댓값 0·최솟값 −2가 되도록 구간마다 어느 식을 택할지 정해야 해 인수분해와 연속 조건이 함께 들어갑니다. 16번(4.8점)은 원의 반지름이 OP=√(t²+2t), 접선이 x축과 만나는 점 Q를 t로 쓴 뒤 OQ−PQ의 유리화까지 가야 해 계산량이 가장 많고, 17번(4.9점)은 최고차항 계수가 1이 아니라는 조건에서 f(x²)과 {f(x+1)}²의 차수를 맞춰 차수 2·최고차항 계수를 극한값 −2로 결정하는 발상이 먼저 필요합니다. 단답형 20번은 g(x)가 f(x)의 부호가 바뀌는 점에서만 0이 아니라는 것을 보고 로그 그래프와 교점 5개 조건으로 m을 정하는 두 단계이고, 21번은 g(x)=f(x)가 x<0, (3/4)f(x−k)가 x≥0이라 x=0에서 좌·우 도함수를 h(x)와 곱해 맞추는 문제라 |2x+6|의 꺾이는 점(x=−3)과 x=0 두 곳을 모두 확인해야 합니다. 서술형 23번은 g가 세 구간 경계 x=a·x=b에서 연속이면서 미분가능해야 하므로 f′(a)=0, 즉 a가 f의 극점이라는 것을 (1)에서 보이고, b와 m+n을 차례로 구하는 사슬형 서술입니다.
번호가 곧 난도인 시험이라 틀리기 시작한 번호가 아이의 현재 위치입니다. 8번까지는 정의 적용, 13번까지는 한 단계 추가, 그 뒤는 조건을 식으로 세우는 종합형입니다. 조각 함수의 연속·미분가능 조건(2·12·19·21·23번)이 다섯 문항이나 되므로, 아이가 경계점에서 ‘함숫값 같음’과 ‘좌·우 도함수 같음’을 따로 쓰는지 봐 주세요. 단답형 4문항이 모두 5점이라 시간 배분도 함께 확인해 주세요.
하남고 수학Ⅱ 중간은 번호가 곧 난도이고, 13번 이후는 ‘극한 조건으로 다항함수를 결정’하거나 ‘조각 함수의 연속·미분가능 조건’을 세우는 문제가 반복됩니다. 극한 조건으로 다항함수를 결정할 때는 차수를 먼저 맞추고 최고차항 계수를 극한값으로 정하는 순서(13·17번)를 틀로 외워 두세요. 조각 함수는 경계점에서 ‘함숫값 같음(연속)’과 ‘좌·우 도함수 같음(미분가능)’ 두 식을 반드시 따로 쓰는 습관(2·12·19·21·23번)이 점수입니다. 부호 함수 |f|/f와 로그 그래프 교점(20번), 교점 개수 함수(6·19번) 유형은 2025년에도 그대로 나왔으므로 그래프를 그려 극한을 읽는 연습을 해 두세요. 서술형은 소문항이 사슬로 이어지므로 (1)의 중간 결과를 반드시 적어 뒤 소문항의 부분 점수를 지킵니다.
제공받은 기출 자료(문항·배점·정답표가 실린 재구성본, 2015 개정 교육과정 기준)를 하남EDU 편집부가 직접 보고 문항 구성·배점·출제 개념·난도를 정리했습니다. 원본 시험지의 쪽수·시행일·서술형 채점 기준은 자료에 없어 확인되지 않았습니다. 시험 문항은 하남고등학교 저작물이므로 문항 원문·그림·정답은 싣지 않습니다. 공식 평균점수·정답률은 확인되지 않았고, 난도는 문항 구조 기준의 편집부 평가입니다. 학교의 공식 자료가 아닙니다.
원본 시험지는 공개·판매·다운로드되지 않습니다. 이 페이지는 문항 번호·핵심 개념·배점·난도만 정리한 분석정보이며 문항 전문과 시험지 이미지는 싣지 않습니다. 학교의 공식 자료가 아닙니다.
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