2024 하남고등학교 2학년 수학Ⅰ · 1학기 기말 시험지 분석

문항·배점 구성

시험지 7쪽, 선택형 17문항 71점 + 단답형 4문항 19점 + 논술형 2문항 10점, 총 100점. 선택형 배점은 3.8점(1~4번)·4점(5·6번)·4.2점(7~9번)·4.3점(10~13번)·4.5점(14~17번)이고, 단답형은 1번 4.6점·2번 4.7점·3번 4.8점·4번 4.9점, 논술형은 1·2번 각 5점입니다. 함께 제공된 학교 채점 기준표에 따르면 논술형 두 문항은 풀이 단계마다 1점씩 5단계로 부분점수가 매겨지고, 다른 방법이라도 수학적 오류가 없으면 정답으로 인정합니다. 단원별로는 등차수열과 등비수열 30.2점(1·5·6·13·17번 + 단답형 1 + 논술형 2), 삼각함수 26.7점(2·10·12·15번 + 단답형 3 + 논술형 1), 수열의 합 24.8점(3·4·7·9·11·16번), 수학적 귀납법·귀납적 정의 18.3점(8·14번 + 단답형 2·4)입니다. 선택형 1~17번의 단원은 학교 정답표의 내용영역 표기를 따랐고, 단답형·논술형은 편집부가 분류했습니다.

난이도

시험지 7쪽 전체를 기준으로 본 전체 난도는 중상, 고득점 난도는 상입니다. 선택형 17문항의 배점이 3.8점부터 4.5점까지 번호순으로 오르고, 단답형 4문항이 4.6·4.7·4.8·4.9점, 논술형 2문항이 각 5점이라 뒤로 갈수록 한 문항의 무게가 커집니다. 1~6번(3.8~4점)은 등차중항, 두 변과 끼인각으로 삼각형 넓이, Σ의 성질, 제곱의 합, 등비수열의 공비와 합처럼 공식을 바로 쓰는 문항입니다. 7~13번(4.2~4.3점)은 약수와 로그의 합(7번), 귀납법 증명 빈칸(8번), 부호에 따라 바뀌는 점화식의 주기(9번), 부채꼴과 삼각형 넓이의 비(10번), Σk²aₖ로 정의된 수열(11번), 코사인법칙(12번), 홀수 번째 합과 등비 조건(13번)으로 한 단계가 더 붙습니다. 14~17번(4.5점)은 관계식에서 등비수열을 찾아내는 14번, 두 외접원의 반지름 비(15번), 집합 조건으로 ±1이 정해지는 수열의 합(16번), 두 등차수열의 절댓값 합(17번)이고, 단답형은 등차수열 합의 조건(1번), 홀짝으로 나뉜 귀납적 정의(2번), 반원 안 도형의 넓이(3번), 조건에 따라 바뀌는 점화식의 규칙(4번)이라 선택형 상위보다 깁니다. 논술형은 세 높이의 비로 최대각의 코사인(1번), 이차방정식의 근과 등차수열의 합(2번)입니다. 공식 평균점수·정답률은 확인되지 않았습니다.

문항별 핵심 개념

시험의 주요 특징

① 등차수열과 등비수열(1·5·6·13·17번, 단답형 1, 논술형 2) — x, 7, y, 13이 등차수열일 때 x+y(1번), 모든 항이 양수이고 a₃=4a₁+3a₂인 등비수열의 r+a₉/a₆(5번), S₃=21·S₆=189인 등비수열의 a₆(6번), S₂ₙ₋₁=2이고 {aₙaₙ₊₁}이 등비수열이며 S₆=130일 때 S₁₀/10(13번), 첫째항이 9d이고 공차가 2d·−3d인 두 등차수열에서 Sₙ=Σ(|aₖ|−|bₖ|)≥0인 최대 n(17번). 단답형 1번은 aₖ₋₂+aₖ+aₖ₊₂=15, S₂ₖ₋₁=S₄ₖ=45인 등차수열의 a₁+a₅이고, 논술형 2번은 x²+aₙ₊₁x+(aₙ+aₙ₊₂)=0의 두 근 αₙ, βₙ으로 Σ(αₙ+1)(βₙ+1)=330일 때 a₁₀을 근과 계수의 관계와 등차수열의 합으로 씁니다. ② 삼각함수의 활용(2·10·12·15번, 단답형 3, 논술형 1) — 두 변 6·8과 끼인각 120°인 삼각형의 넓이(2번), 반지름 4·호의 길이 π인 부채꼴 넓이 S와 삼각형 OAP 넓이 T의 비 S/T=3π로 OP(10번), ab:bc:ca=10:15:12일 때 cosA(12번), ∠B=π/3·BC=9인 삼각형에서 두 외접원 반지름이 √7r₁=2r₂일 때 AB(15번). 단답형 3번은 지름 4인 반원에서 θ로 나타낸 두 삼각형 넓이 S(θ), T(θ)로 S(π/6)+T(π/12)이고, 논술형 1번은 세 꼭짓점에서 내린 수선의 길이 비 4:5:6으로 최대각의 cosθ를 넓이 식과 코사인법칙으로 씁니다. ③ 수열의 합(3·4·7·9·11·16번) — Σaₖ=5·Σbₖ=3으로 Σ(aₖ−bₖ)(3번), 1²+2²+⋯+10²(4번), 1296의 약수를 크기순으로 나열한 aₖ로 Σlog₆aₖ(7번), aₙ의 부호에 따라 aₙ−5 또는 |aₙ|로 정해지는 수열의 23항까지 합(9번), 첫째항 1인 등차수열과 bₙ=Σk²aₖ, b₆=21로 a₆(11번), 24∈Aₙ 여부로 aₙ=±1이 정해질 때 |Σaₖ|=4인 b의 합(16번). ④ 수학적 귀납법·귀납적 정의(8·14번, 단답형 2·4) — aₙ₊₁=(3n+2)/(3n−1)·aₙ에서 aₙ=6n−2를 증명하는 과정의 빈칸(8번), a₁=8·a₄=27인 증가수열의 관계식을 정리해 등비수열임을 보이고 Σ2aₖ(14번). 단답형 2번은 a₂ₙ₋₁a₂ₙ=1, a₂ₙ+a₂ₙ₊₁=1로 정의된 수열에서 Σ(aₙ−|aₙ|)=−10인 a₁ 값의 합, 4번은 a₁=3이고 aₙ>2이면 aₙ/2, 아니면 aₙ+1인 수열의 (2¹⁰/41)(S₂₀−S₁₈)입니다. 하남고 2학년 2학기 중간(2024·2025년)이 수학Ⅱ였던 것과 달리 이 시험은 수학Ⅰ 후반부 전체가 범위였습니다.

상대적으로 변별력이 높은 문항

4.5점 4문항과 단답형 2·3·4번이 변별 구간입니다. 13번(4.3점)은 S₂ₙ₋₁=2에서 a₁과 ‘짝수 번째 항+다음 홀수 번째 항=0’이라는 관계를 끌어낸 뒤 {aₙaₙ₊₁}이 등비수열이라는 조건과 S₆=130을 연결해야 해 배점에 비해 길어집니다. 15번은 사인법칙으로 두 외접원 반지름을 AD에 대한 식으로 나타내고 ∠ADB와 ∠ADC가 보각이라는 점으로 비를 세운 뒤 코사인법칙으로 AB를 구하는 세 단계입니다. 16번은 부등식 (x−2n)(x−5n+1)≤0의 해에 24가 들어가는 n의 범위를 먼저 정해 aₙ의 부호 표를 만들고 부분합이 ±4가 되는 b를 모두 찾아야 합니다. 17번은 두 등차수열의 부호가 바뀌는 지점을 기준으로 절댓값을 풀어 S₃=45로 d를 정하고 Sₙ≥0인 n의 범위를 구합니다. 단답형 2번은 a₁=α로 두면 수열이 α, 1/α, 1−1/α, …처럼 몇 항마다 반복되므로 음수인 항이 어디서 생기는지 경우를 나눠야 하고, 단답형 4번은 처음 몇 항을 직접 써서 짝수 번째 항의 일반항을 추측하는 과정이 핵심입니다. 단답형 3번은 원주각·중심각 관계로 두 삼각형의 변을 θ로 나타낸 뒤 서로 다른 θ 값을 대입해야 해 계산이 깁니다.

학부모가 알아야 할 점

배점이 번호순으로 커지는 시험이라 앞쪽 3.8~4점 6문항은 실수 없이 지키고, 4.5점 이상 문항과 단답형·논술형에서 얼마나 버티느냐가 점수를 가릅니다. 13·16·17번과 단답형 2·4번은 수열의 조건을 해석해 처음 몇 항을 직접 써 봐야 하는 문항이고, 15번과 단답형 3번은 사인·코사인법칙을 도형 안에서 골라 써야 하는 문항입니다. 해당 문항을 틀렸다면 관련 개념의 이해, 조건 해석, 계산 과정, 시간 부족 중 어디에서 어려움이 있었는지 풀이를 보며 점검할 필요가 있습니다. 논술형은 총 10점입니다. 논술형 1번은 세 높이의 비를 넓이 식으로 세 변의 비로 바꾼 뒤 코사인법칙으로 최대각의 코사인을 구하는 5점 문제이고, 논술형 2번은 이차방정식의 근과 계수의 관계로 식을 정리한 뒤 등차수열의 합으로 공차와 a₁₀을 구하는 5점 문제입니다. 두 문항 모두 단계마다 1점씩 매겨지므로 아이가 중간 식을 빠짐없이 적었는지 함께 확인해 주세요.

다음 시험 대비 — 이번 시험에서 중요했던 학습 포인트

하남고 2학년 1학기 기말 수학Ⅰ은 배점이 번호순으로 오르고 단답형·논술형 29점이 뒤에 몰려 있어, 선택형 1~12번을 빠르게 지키고 시간을 뒤쪽에 남기는 운영이 중요합니다. 수열 단원이 73.3점으로 큰 비중이므로 등차·등비수열의 합 공식, Σ의 성질과 부분분수, 귀납적 정의로 처음 몇 항을 직접 나열해 규칙을 찾는 연습(9·14번, 단답형 2·4)을 함께 해 두세요. 삼각함수 26.7점은 사인법칙·코사인법칙·넓이 공식을 도형 안에서 언제 쓰는지 판단하는 문항(10·12·15번, 단답형 3, 논술형 1)이라 그림에 각과 변을 표시하며 푸는 습관이 필요합니다. 논술형은 학교 채점 기준표처럼 ‘조건을 식으로 세우기 → 관계식 정리 → 값 구하기’의 단계마다 점수가 있으므로 중간 식을 빠뜨리지 않고 쓰는 연습을 하세요.

자주 묻는 질문

2024 하남고2 1학기 기말 수학Ⅰ 시험은 어떻게 구성됐나?

2024년 7월 4일 시행. 선택형 17문항 71점(3.8~4.5점), 단답형 4문항 19점(4.6~4.9점), 논술형 2문항 10점(각 5점), 총 100점입니다. 단원별로는 등차·등비수열 30.2점, 삼각함수 26.7점, 수열의 합 24.8점, 수학적 귀납법·귀납적 정의 18.3점입니다.

난이도는 어느 정도였나?

전체 난도 중상, 고득점 난도 상입니다. 1~6번은 공식 적용형이고, 4.5점 문항과 단답형 2~4번이 조건 해석과 경우 나누기가 필요한 변별 문항입니다. 공식 평균·정답률은 확인되지 않았습니다.

풀이가 길어진 문항은?

13번(홀수 번째 합과 등비 조건), 15번(두 외접원의 반지름 비), 16번(집합 조건으로 정한 ±1 수열의 합), 17번(두 등차수열의 절댓값 합), 단답형 2번(홀짝 귀납적 정의), 단답형 4번(조건별 점화식의 규칙)입니다.

시험 구조에서 눈에 띄는 점은?

배점이 1번 3.8점부터 단답형 4번 4.9점까지 번호순으로 올라갑니다. 수열이 73.3점으로 큰 비중이고, 논술형 두 문항은 학교 채점 기준표상 풀이 단계마다 1점씩 부분점수가 매겨집니다.