2024 하남고등학교 1학년 수학 · 1학기 중간 시험지 분석

문항·배점 구성

시험지 8쪽, 선택형 22문항 80점 + 논술형 3문항 20점, 총 100점. 선택형 배점은 3 · 3 · 3.1 · 3.1 · 3.2 · 3.3 · 3.4 · 3.4 · 3.5 · 3.6 · 3.7 · 3.7 · 3.8 · 3.8 · 3.9 · 3.9 · 4 · 4 · 4.1 · 4.1 · 4.2 · 4.2점으로 1번부터 22번까지 커집니다. 논술형 1번은 6점, 2번은 7점((1) 답만 1점 · (2) 3점 · (3) 3점), 3번은 7점((1) 몫과 나머지 답만 각 1점 · (2) 5점)이며, 논술형은 풀이 과정에 따라 부분점수가 적용된다고 시험지에 안내돼 있습니다. 단원별로는 여러 가지 방정식 28점(5·12·18·20번 + 논술형 1·3번), 이차방정식 25.2점(2·11·13·14·16번 + 논술형 2번), 다항식의 연산·나머지정리 20.8점(3·4·6·8·15·17번), 이차방정식과 이차함수 18.8점(7·9·10·19·21번), 복소수 7.2점(1·22번)입니다.

난이도

시험지 8쪽 전체를 기준으로 본 전체 난도는 중, 고득점 난도는 상입니다. 선택형 배점이 1·2번 3점에서 21·22번 4.2점까지 번호순으로 0.1점씩 올라가 번호가 곧 난도 순서표입니다. 1~6번(3~3.3점)은 켤레복소수, 근과 계수의 관계, 항등식의 계수 비교, x²+y² 변형, 1+ω+ω², 인수정리처럼 정의를 한 번 적용하면 끝나고, 7~12번(3.4~3.7점)은 포물선이 직선에 접할 조건(7번), xP(x)를 x−2로 나눈 몫과 나머지(8번), 무리수 근의 켤레로 계수 결정(9번), 그래프 부호로 개형 판단(10번), 두 근의 차(11번), 사차방정식의 허근(12번)처럼 한 단계가 더 붙습니다. 13~16번(3.8~3.9점)은 차수 낮추기(13번), 근의 변환(14번), 다항식 나눗셈 빈칸 추론(15번), 닮음에서 나오는 이차방정식(16번)이고, 17~22번(4~4.2점)은 이차식으로 나눈 나머지(17번), 삼차식 보기 판단(18번), 제한된 범위의 이차함수 최솟값(19·21번), ω의 거듭제곱 곱(20번), i의 거듭제곱 주기로 순서쌍 세기(22번)로 조건을 경우별로 나눠야 합니다. 논술형 3문항(20점)은 켤레근(1번), 정오각형과 이차방정식(2번), 정수근 조건의 순서쌍 개수(3번)입니다. 공식 평균점수·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.

문항별 핵심 개념

시험의 주요 특징

① 다항식의 연산·나머지정리(3·4·6·8·15·17번) — 모든 실수 x에 대한 등식의 계수 비교(3번), x+y=7·xy=10에서 x²+y²(4번), x+2로 나누어떨어지고 x−1로 나눈 나머지가 6인 삼차식의 2a+b(6번), P(x)를 x−2로 나눈 몫 Q(x)와 나머지 r로 xP(x)를 x−2로 나눈 몫과 나머지(8번), x³+2x−1=0의 세 근이 (x²+x+1)P(x)=1의 근이 되는 최소 차수 P(x)를 구하는 과정의 빈칸(15번), xⁿ(x²+ax+b)를 (x−2)²으로 나눈 나머지가 2ⁿ(x−2)일 때 ab(17번). ② 복소수(1·22번) — 3+5i의 켤레복소수(1번), 30 이하 자연수 m, n에 대해 {((1−i)/(1+i))ⁿ+((1+i)/(1−i))²ⁿ}ᵐ이 순허수가 되는 순서쌍의 개수(22번). ③ 이차방정식(2·11·13·14·16번, 논술형 2) — 두 근의 곱(2번), 두 근의 차가 4가 되는 m 값의 합과 곱(11번), x²+2x+3=0의 근으로 분모의 차수를 낮춰 계산하는 분수식(13번), ax²+bx+c=0의 근 α로 c(x−3)²+b(x−3)+a=0의 근 고르기(14번), AC=BC·BC=BD·AB=AD인 이등변삼각형에서 닮음비로 AC/CD(16번). 논술형 2번은 한 변이 1인 정오각형에서 (1) PE, (2) 대각선 BE=x를 구하는 이차방정식, (3) 1−x+x²−⋯+x⁸을 p+q√5 꼴로 나타내는 과정을 씁니다. ④ 이차방정식과 이차함수(7·9·10·19·21번) — 두 포물선이 직선 y=x+k에 동시에 접할 때 k×m(7번), x절편 2−√5와 유리수 계수로 a+b+최솟값(9번), 직선 y=ax+b의 그래프로 y=b(x+a)²의 개형(10번), −3≤x≤4에서 f(−1)=f(3)·f(3)=|f(−2)|·최솟값 −19인 이차함수의 f(2)(19번), 2≤x≤3에서 최솟값이 3이 되는 a, b에 대해 b−2a의 최댓값(21번). ⑤ 여러 가지 방정식(5·12·18·20번, 논술형 1·3) — x³−1=0의 허근 ω로 1+ω+ω²(5번), x⁴+4x³+5x²+2x−12=0을 조립제법으로 인수분해한 뒤 허근 ω의 ω³(12번), x³+(2a−1)x²+(b²−2a)x−b²의 인수·실근 개수·정수 순서쌍 개수 보기(18번), x²+x+1=0의 허근 ω로 Pₙ(ω)=(1+ω)(1+ω²)⋯(1+ωⁿ)=2⁴인 n의 합(20번). 논술형 1번은 x³+ax²+bx−5=0의 한 근이 2+i일 때 a, b와 나머지 두 근, 3번은 f(x)=ax³+3bx²+9bx+27a를 x+3으로 나눈 몫·나머지(답만)와 서로 다른 세 정수근을 갖는 |a|≤100·|b|≤100인 순서쌍 개수의 과정을 씁니다. 채점 기준은 공개되지 않았습니다.

상대적으로 변별력이 높은 문항

4점대 6문항과 논술형 3번 (2)가 변별 구간입니다. 22번(4.2점)은 (1−i)/(1+i)=−i, (1+i)/(1−i)=i로 바꾼 뒤 n을 4로 나눈 나머지별로 괄호 안의 값을 정리하고, 그 값의 m제곱이 순허수가 되는 m을 다시 세야 해 경우 나누기가 두 겹입니다. 20번(4.1점)은 ω³=1에서 (1+ω)(1+ω²)=1, 1+ω³=2라는 세 항 묶음의 주기를 찾아 2⁴이 되는 n의 범위를 잡아야 합니다. 19번은 f(−1)=f(3)에서 축 x=1을 읽고 f(−2)의 부호로 경우를 나눈 뒤 정의역 −3≤x≤4의 끝점에서 최솟값을 확인해야 하고, 21번은 축 x=a가 구간 [2,3]의 왼쪽·안·오른쪽에 있을 때를 각각 따져 b−2a를 a의 식으로 바꾼 뒤 최댓값을 비교합니다. 17번은 xⁿ(x²+ax+b)−2ⁿ(x−2)가 (x−2)²으로 나누어떨어진다는 조건을 x=2 대입과 한 번 더 나눈 식으로 두 번 써야 하고, 18번은 조립제법으로 일차 인수를 먼저 찾은 뒤 남은 이차식의 판별식과 근의 합으로 ㄴ·ㄷ을 판단합니다. 논술형 3번 (2)는 (1)에서 구한 몫(이차식)의 두 근이 −3이 아닌 서로 다른 정수가 되는 조건을 근과 계수의 관계로 세우고 |a|, |b|≤100 범위에서 개수를 세는 과정을 써야 해 가장 깁니다. 논술형 2번 (3)은 x²=x+1을 이용해 차수를 낮추는 계산이 길어 중간 실수가 나기 쉽습니다.

학부모가 알아야 할 점

번호가 곧 난도인 시험이라 ‘몇 번부터 틀렸는가’가 아이의 현재 위치를 보여 줍니다. 12번까지는 공식을 바로 적용하는 문항, 13~16번은 식을 한 번 변형해야 하는 문항, 17~22번은 조건을 경우별로 나눠야 하는 문항입니다. 해당 문항을 틀렸다면 관련 개념의 이해, 조건 해석, 계산 과정, 시간 부족 중 어디에서 어려움이 있었는지 풀이를 보며 점검할 필요가 있습니다. 논술형은 총 20점입니다. 논술형 1번은 한 허근이 주어진 삼차방정식에서 켤레근을 이용해 계수와 나머지 근을 구하는 6점 문제이고, 논술형 2번은 정오각형의 닮음에서 이차방정식을 세워 대각선 길이를 구하고 그 값을 다항식에 대입해 차수를 낮추는 7점 문제이며, 논술형 3번은 삼차식을 인수분해한 뒤 정수근 조건을 만족하는 순서쌍의 개수를 세는 7점 문제입니다. 세 문항이 각각 켤레근, 이차방정식의 활용, 정수근과 경우의 수를 다루므로 근거를 어떻게 적었는지 문항별로 함께 확인해 주세요.

다음 시험 대비 — 이번 시험에서 중요했던 학습 포인트

하남고 1학년 1학기 중간은 선택형 배점이 번호순으로 올라가므로 ‘몇 번까지 안정적으로 맞히는가’로 현재 위치를 잴 수 있습니다. 1~12번은 근과 계수의 관계, 나머지정리, ω의 성질, 이차함수와 직선의 위치 관계를 공식처럼 바로 꺼내는 구간이라 속도와 정확도가 점수입니다. 13번 이후는 차수 낮추기(13번, 논술형 2번), 이차식으로 나눈 나머지(17번), 축의 위치에 따른 최대·최소(19·21번), 거듭제곱의 주기(20·22번)처럼 조건을 경우별로 나누는 문항이라, 풀이를 ‘경우 1·경우 2’로 적어 가며 정리하는 연습이 필요합니다. 논술형 20점은 삼차방정식의 켤레근, 이차방정식의 활용, 정수근 조건을 다루므로, 근과 계수의 관계와 조립제법을 근거와 함께 한 줄씩 쓰는 틀을 갖춰 두면 부분점수를 확보할 수 있습니다. 기말 범위는 학교 공지로 확인하세요.

자주 묻는 질문

2024 하남고1 1학기 중간 수학 시험은 어떻게 구성됐나?

2024년 4월 29일 시행. 선택형 22문항 80점(3~4.2점, 번호순 증가)과 논술형 3문항 20점(6·7·7점), 총 100점입니다. 단원별로는 여러 가지 방정식 28점, 이차방정식 25.2점, 다항식의 연산·나머지정리 20.8점, 이차방정식과 이차함수 18.8점, 복소수 7.2점입니다.

난이도는 어느 정도였나?

전체 난도 중, 고득점 난도 상입니다. 1~12번은 공식 적용형이고, 4점대 17~22번과 논술형 3번이 경우 나누기가 필요한 변별 문항입니다. 공식 평균·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.

풀이가 길어진 문항은?

22번(i의 거듭제곱 주기로 순서쌍 세기), 20번(ω의 거듭제곱 곱이 2⁴이 되는 n), 19·21번(제한된 범위의 이차함수 최솟값), 17번(이차식으로 나눈 나머지), 논술형 3번 (2)(정수근 조건의 순서쌍 개수)입니다.

시험 구조에서 눈에 띄는 점은?

선택형 배점이 3점부터 4.2점까지 번호순으로 0.1점씩 올라 번호가 곧 난도 순서입니다. ω의 성질이 5·12·20번에 세 번 나오고, 논술형 3문항이 켤레근·이차방정식 활용·정수근 조건으로 서로 다른 내용을 다룹니다.