2022 덕풍중학교 3학년 수학 · 2학기 기말 시험지 분석

문항·배점 구성

시험지 6쪽, 선택형 26문항 100점(서술형 없음). 3점 10문항(1·2·11·12·13·15·19·20·21·24번) 30점, 4점 10문항(3~7·16·17·22·23·25번) 40점, 5점 6문항(8·9·10·14·18·26번) 30점입니다. 단원별로는 삼각비의 활용 41점(1~10번), 원과 직선 30점(11~18번), 원주각 29점(19~26번)으로 문항 번호 순서가 단원 순서와 같습니다.

난이도

시험지 6쪽 26문항 전체를 기준으로 본 전체 난도는 중, 고득점 난도는 중상입니다. 3점 10문항·4점 10문항·5점 6문항이고 서술형은 없습니다. 3점 문항은 현의 수직이등분(11·12번), 중심에서 같은 거리의 두 현(13번), 원에 외접하는 사각형(15번), 원주각과 중심각(19~21번), 접선과 현이 이루는 각(24번)처럼 정리 하나를 적용하면 끝납니다. 4점 문항은 평행사변형 넓이(3번), tanA로 넓이(4번), 열기구 높이(5번, 삼각비 값 제공), 두 삼각형으로 나눈 사각형 넓이(6번), 대각선과 넓이로 교각(7번)처럼 삼각비 넓이 공식을 한 번 더 거칩니다. 변별은 5점 6문항에서 납니다. AH를 tan으로 나타낸 식 고르기(8번), 45°·60°로 강의 폭(9번), 정삼각형에 내접한 정삼각형의 둘레(10번), 동심원의 고리 넓이로 현의 길이(14번), 두 직각을 가진 사각형에 내접한 원과 CD(18번), 원에 내접하는 사각형 판정 보기(26번)입니다. 이 시험에는 삼각비의 정의·특수각 값만 묻는 문항이 없고 삼각비의 활용부터 출제됐습니다. 공식 평균점수·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.

문항별 핵심 개념

시험의 주요 특징

① 삼각비의 활용(1~10번) — AB=BC인 이등변삼각형에서 ∠C=15°로 생기는 둔각을 이용한 넓이(1번), 두 변과 끼인각 30°로 남은 한 변 AB(2번), ∠B=45°·넓이 12√2·AB:BC=3:4인 평행사변형의 BC(3번), tanA=2인 삼각형의 넓이(4번), 올려본 각 52°·거리 100m와 눈높이 1.5m로 열기구 높이(5번, 삼각비 값 제공), 60°·30°가 들어간 두 삼각형으로 나눈 사각형 넓이(6번), 대각선 8·10과 넓이 20√2로 두 대각선의 교각(7번), BC=1·∠B=45°·∠C=50°에서 높이 AH를 tan으로 나타낸 식(8번), AB=100m·45°·60°로 강의 폭(9번), 한 변 16인 정삼각형에 내접한 정삼각형 DEF의 둘레(10번). ② 원과 직선(11~18번) — 현의 수직이등분으로 x(11·12번), 중심에서 같은 거리의 두 현과 ∠BAC=50°로 ∠ABC(13번), 동심원에서 작은 원의 접선이 큰 원과 만나는 현 AB(14번, 고리 넓이 9π), 원에 외접하는 사각형의 CD(15번), 원에 외접하는 삼각형의 접선 길이 x(16번), ∠APB=60°·AP=2√2인 두 접선과 색칠한 부채꼴 넓이 S로 9S(17번), ∠B=∠C=90°인 사각형에 내접한 원(OE=2·AD=5)으로 CD(18번). ③ 원주각(19~26번) — 원주각 42°로 중심각 ∠x(19번), 210°인 중심각으로 원주각(20번), 원주각 30°·60°와 호의 길이의 비례(21번), ∠BPC=60°·∠AOD=70°로 2x+y(22번), 호의 비 4:5:6으로 세 내각의 a−b+c(23번), 접선 AT와 지름으로 x+2y(24번), 내접 사각형과 접선 EF로 ∠DCF(25번), 다섯 그림 중 원에 내접하는 사각형 고르기(26번). 서술형은 없습니다.

상대적으로 변별력이 높은 문항

5점 6문항이 변별 구간입니다. 10번은 한 변 16인 정삼각형 ABC 안에서 4와 12로 나뉜 길이로 정삼각형 DEF의 한 변을 구해야 하는데, D에서 AC에 수선을 내려 60°의 삼각비로 수선의 길이와 나머지 길이를 구한 뒤 피타고라스 정리로 마무리하는 2단계라 수선을 어디에 내릴지가 관건입니다. 9번은 P에서 AB에 내린 수선의 길이를 h로 두고 45° 쪽 길이는 h, 60° 쪽 길이는 h/tan60°로 나타내 합이 100이라는 식을 세운 뒤 유리화까지 가야 합니다. 8번은 같은 구조를 BC=1로 놓고 AH를 tan40° 또는 tan50°로 표현한 식을 고르는 문제라, ∠C=50°를 그대로 쓸지 ∠CAH=40°로 바꿔 쓸지 보기 형태를 보고 판단해야 합니다. 18번은 접선의 길이가 같다는 성질로 AB+CD=AD+BC를 세우고, A에서 CD에 수선을 내려 높이(지름)와 AD=5로 피타고라스 정리를 한 번 더 써야 CD가 확정됩니다. 14번은 고리 넓이 9π가 (큰 반지름)²−(작은 반지름)²=9라는 뜻이고 이것이 곧 현 AB의 절반의 제곱이라는 연결이 보여야 짧게 끝납니다. 26번은 대각의 합이 180°인지, 한 외각이 그 내대각과 같은지, 한 변에 대한 두 각이 같은지를 다섯 그림마다 확인해야 해 시간이 걸립니다. 4점 중 6번은 직각 표시와 30°를 보고 대각선 AC를 먼저 구한 뒤 두 삼각형의 넓이를 각각 계산해 더하는 문제, 17번은 두 접선이 만드는 60°에서 반지름과 부채꼴의 중심각 120°를 동시에 얻어야 하는 문제입니다.

학부모가 알아야 할 점

단원이 번호 순서대로 1~10번 삼각비의 활용, 11~18번 원과 직선, 19~26번 원주각으로 나뉘어 있어 어느 구간에서 점수가 빠졌는지 바로 보입니다. 삼각비의 활용 구간은 그림에 수선을 그어 직각삼각형을 만드는 문제(2·8·9·10번)와 넓이 공식을 쓰는 문제(1·3·4·6·7번)로 나뉘고, 원과 직선 구간은 접선의 길이가 같다는 성질(15~18번)이, 원주각 구간은 각을 옮기는 순서(22·24·25번)와 내접 사각형 판정(26번)이 핵심입니다. 해당 문항을 틀렸다면 관련 개념의 이해, 조건 해석, 계산 과정, 시간 부족 중 어디에서 어려움이 있었는지 풀이를 보며 점검할 필요가 있습니다. 서술형이 없는 시험이라 시험지에 풀이 과정이 남아 있는지, 5점 문항에 시간을 얼마나 남겼는지도 함께 확인해 주세요.

다음 시험 대비 — 이번 시험에서 중요했던 학습 포인트

덕풍중 3학년 2학기 기말은 2020·2021·2022년 모두 삼각비 → 원과 직선 → 원주각 순서로 출제됐고, 2022년은 삼각비의 정의·특수각만 묻는 문항 없이 활용부터 시작했습니다. 삼각비의 활용에서는 ‘두 각과 그 사이 변으로 거리 구하기’가 해마다 나옵니다. 2020년 10번(75°·45°), 2021년 9번(45°·105°), 2022년 9번(45°·60°)이 모두 수선을 내려 특수각 직각삼각형 두 개로 나누는 문제이므로, 어느 꼭짓점에서 수선을 내릴지 정하는 연습을 해 두세요. 넓이는 ½ab·sinC, 평행사변형 ab·sinB, 사각형 ½×(두 대각선의 곱)×sinx 세 공식을 한 묶음으로 정리하면 1·3·4·6·7번이 한 번에 정리됩니다. 원과 직선은 원에 외접하는 삼각형(2020년 15번·2022년 16번)과 사각형(2022년 15·18번)에서 접선의 길이가 같다는 성질이 반복되고, 원주각은 접선과 현이 이루는 각(2020년 16번·2021년 21번·2022년 24·25번)과 네 점이 한 원 위에 있을 조건을 보는 보기 문항(2020년 18번·2022년 26번)이 이어집니다. 서술형 없이 26문항이므로 3점 10문항을 빠르게 처리하고 5점 6문항에 시간을 남기는 배분이 필요합니다.

자주 묻는 질문

2022 덕풍중3 2학기 기말 수학 시험은 어떻게 구성됐나?

2022년 11월 23일 시행. 선택형 26문항 100점(3점 10·4점 10·5점 6)이고 서술형은 없습니다. 단원별로는 삼각비의 활용 41점, 원과 직선 30점, 원주각 29점이며 문항 번호 순서가 단원 순서와 같습니다.

난이도는 어느 정도였나?

전체 난도 중, 고득점 난도 중상입니다. 3점 문항은 정리 하나로 끝나고, 5점 6문항(8·9·10·14·18·26번)에서 수선 긋기와 두 단계 계산이 필요합니다. 공식 평균·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.

풀이가 길어진 문항은?

10번(정삼각형에 내접한 정삼각형의 둘레), 9번(45°·60°로 강의 폭), 18번(두 직각을 가진 사각형에 내접한 원과 CD), 26번(원에 내접하는 사각형 판정 보기), 14번(동심원 고리 넓이로 현의 길이)입니다.

이전 기말과 반복된 유형이 있나?

있습니다. 수선을 내려 두 지점 사이 거리를 구하는 문제가 2020년 10번·2021년 9번에 이어 9번으로 나왔고, 원에 외접하는 삼각형의 접선 길이(2020년 15번→16번), 접선과 현이 이루는 각(2020년 16번·2021년 21번→24·25번), 원에 내접하는 사각형 판정 보기(2020년 18번→26번)도 반복됐습니다.