2020 덕풍중학교 3학년 수학 · 2학기 기말 시험지 분석

문항·배점 구성

선택형 22문항 100점(자료 기준, 서술형 없음). 3점 4문항(1·12·13·14번), 4점 6문항(2·4·6·7·9·16번), 5점 8문항(3·5·8·15·18·19·20·21번), 6점 4문항(10·11·17·22번). 단원별로는 원주각 36점(16~22번), 삼각비 29점(1~7번), 삼각비의 활용 21점(8~11번), 원과 직선(현·접선) 14점(12~15번)입니다.

난이도

자료에 실린 선택형 22문항을 기준으로 본 전체 난도는 중상, 고득점 난도는 상입니다. 22문항으로 문항 수가 적은 대신 6점 문항이 4개(10·11·17·22번), 5점 문항이 8개(3·5·8·15·18·19·20·21번)로 배점이 높은 쪽에 몰려 있어 한 문항의 무게가 큽니다. 3점 4문항(1·12·13·14번)은 cosA·현의 길이·현의 성질 보기·접선 길이처럼 정의 적용이고, 4점 6문항은 수선으로 생긴 각의 삼각비, 특수각 계산 비교, 사분원과 삼각비 표, 이등변삼각형 넓이로 각, 접선과 현이 이루는 각으로 표준형입니다. 5·6점 문항은 tanB=2√2로 넓이(3번), 30°·60°로 넓이(5번), 롯데월드타워 높이(8번), 외접 삼각형 둘레(15번), 네 점이 한 원 위에 있는 보기(18번), 내접 사각형 외각(19번), 내접 오각형(20번), 지름과 접하는 각(21번)에 이어 6점인 놀이공원 두 지점 거리(75°·45°, 10번), 두 종이테이프 겹친 넓이(11번), 내접 삼각형의 각 이등분선 길이(17번), 내접 사각형 넓이(22번)로 삼각비·원주각·닮음을 섞는 종합형입니다. 자료에 서술형은 없습니다. 공식 평균점수·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.

문항별 핵심 개념

시험의 주요 특징

① 삼각비(1~7번) — 15·8·17 직각삼각형에서 cosA(1번), BC=12·AC=5에서 수선의 발로 생긴 각 x의 cos·tan+sin(2번), AB=18·tanB=2√2로 넓이(3번), 특수각 계산 다섯 개 중 가장 큰 값(4번), ∠A=30°·∠BDC=60°·AD=10으로 직각삼각형 넓이(5번), 사분원 그림에서 tan55°−cos55°(6번), 삼각비 표(25°~29°)로 보기 판단(7번). ② 삼각비의 활용(8~11번) — 1000m 떨어진 지점에서 올려본 각 29°로 롯데월드타워 높이(8번, 표 이용), AB=BC=10·넓이 25√3인 이등변삼각형의 둔각 B(9번), AC=200·∠A=75°·∠C=45°로 BC(10번), 폭 4·5인 두 종이테이프가 45°로 겹친 평행사변형 넓이(11번). ③ 원과 직선(12~15번) — OA=5·수선 3으로 현(12번), AB=CD인 두 현의 성질 보기 중 틀린 것(13번), 접선 두 그림의 x 합(14번), 외접 삼각형(8·7·9)에 접선 PQ를 그어 △PBQ의 둘레(15번). ④ 원주각(16~22번) — 접선 AT·70°·60°로 ∠x(16번), 내접 삼각형에서 ∠BAC 이등분선과 BC의 교점 D, AB=6·AC=4·∠BOC=120°로 AD(17번), 네 점이 한 원 위에 있는 그림 보기(18번), 내접 사각형 ∠ABD=30°·∠ADB=75°로 외각 ∠DCE(19번), 내접 오각형 AB=AD·∠BCD=70°로 ∠AED(20번), 지름 AB·∠COD=58°로 ∠DPC(21번), 내접 사각형 ∠BCD=120°·호 AB=호 AD·BD=6으로 △ABD 넓이(22번). 채점 기준은 공개되지 않았습니다.

상대적으로 변별력이 높은 문항

6점 4문항이 모두 두 단계 이상입니다. 10번은 B에서 AC에 수선을 내려 ∠A=75°를 쓰기 어려우므로 ∠B=60°를 보고 A에서 BC에 수선을 내리거나 C에서 AB에 수선을 내려 45°·60° 직각삼각형 두 개로 쪼개야 하는데, 어느 꼭짓점에서 수선을 내릴지에 따라 계산량이 크게 달라집니다. 11번은 겹친 부분이 평행사변형이고 폭 4인 테이프의 변 길이가 5/sin45°=5√2임을 보면 넓이가 4·5√2가 되지만, 두 폭 중 어느 것이 높이이고 어느 것이 빗변을 만드는지 그림에서 읽어야 합니다. 17번은 ∠BOC=120°에서 ∠BAC=60°이므로 이등분선이 30°씩 나누고, △ABD와 △ACD의 넓이 비 또는 각의 이등분선 정리로 BD:DC=3:2를 얻은 뒤 AD를 넓이 등식 ½·6·4·sin60°=½·6·AD·sin30°+½·4·AD·sin30°로 구하는 것이 지름길이라 삼각비 넓이 공식을 원주각과 함께 써야 합니다. 22번은 호 AB=호 AD에서 AB=AD이고 내접 사각형이므로 ∠BAD=60°, 즉 △ABD가 정삼각형이라 BD=6으로 넓이 9√3이 되는데, ‘120°의 대각이 60°’라는 것과 ‘같은 호에 대한 현이 같다’를 둘 다 써야 정삼각형이 보입니다. 5점 중 21번은 ∠COD=58°에서 원주각 29°를 잡고 △DPC의 외각으로 가는 문제, 15번은 접선 길이가 같다는 것으로 둘레가 BD+BE=2·BE가 되는 문제라 발상이 보이면 짧습니다.

학부모가 알아야 할 점

22문항에 6점이 4개인 시험이라 어려운 문항 하나가 6점을 좌우합니다. 틀린 문항이 10·11·17·22번이라면 삼각비 넓이 공식을 원주각이나 수선 긋기와 함께 쓰는 연습이 부족한 것이고, 5점 문항이라면 원주각 소단원별 대표 유형을 하나씩 더 풀어야 합니다. 원주각이 36점으로 가장 크니 아이가 ‘접선과 현이 이루는 각’, ‘내접 사각형의 외각’을 말로 설명할 수 있는지 봐 주세요. 자료에 서술형이 없어 실제 시험의 서술형 비중은 학교 시험지로 확인하셔야 합니다.

다음 시험 대비 — 이번 시험에서 중요했던 학습 포인트

덕풍중 2020년 기말은 22문항에 6점이 4개라 ‘어려운 문항 하나’가 6점을 좌우하므로 상위 문항 유형을 미리 알아 두는 것이 중요합니다. 삼각비의 활용은 75°처럼 특수각이 아닌 각이 나오면 특수각 두 개로 쪼개는 수선 긋기(10번)와, 겹친 평행사변형의 높이를 폭으로 읽는 유형(11번)을 그림으로 연습하세요. 원주각은 36점으로 가장 크고 ‘접선과 현이 이루는 각’(16번), ‘네 점이 한 원 위’(18번), ‘내접 사각형의 외각’(19번), ‘내접 오각형’(20번)처럼 유형마다 한 문항씩 나오므로 교과서 소단원별로 대표 문제를 하나씩 풀어 두면 5점 8문항을 지킵니다. 17·22번처럼 원주각과 삼각비 넓이 공식(½ab·sinC)을 함께 쓰는 문제가 6점이므로, 넓이 공식을 원 안의 삼각형에서도 꺼낼 수 있어야 합니다. 삼각비 표·사분원(6·7·8번)은 매년 나오니 표 읽기를 빠르게 해 두세요.

자주 묻는 질문

2020 덕풍중3 2학기 기말 수학 시험은 어떻게 구성됐나?

자료 기준 선택형 22문항 100점(3점 4·4점 6·5점 8·6점 4)이며 서술형은 자료에 없습니다. 단원별로는 원주각 36점, 삼각비 29점, 삼각비의 활용 21점, 원과 직선 14점입니다. 시행일은 자료에 없어 확인되지 않았습니다.

난이도는 어느 정도였나?

전체 난도 중상, 고득점 난도 상입니다. 문항 수가 22개로 적은 대신 6점 4문항·5점 8문항으로 배점이 높은 쪽에 몰려 있습니다. 공식 평균·정답률·채점 기준은 확인되지 않았습니다.

풀이가 길어진 문항은?

10번(75°·45°로 두 지점 거리), 11번(두 종이테이프의 겹친 넓이), 17번(내접 삼각형의 각 이등분선 길이), 22번(내접 사각형에서 정삼각형 넓이), 21번(지름과 외각), 15번(외접 삼각형에 그은 접선과 둘레)입니다.

시험 구조에서 눈에 띄는 점은?

6점 문항이 4개 있고 원주각이 36점으로 가장 큽니다. 17·22번은 원주각과 삼각비 넓이 공식을 함께 쓰는 융합형이며, 롯데월드타워(8번)·놀이공원(10번) 같은 실생활 소재가 들어갔습니다.